Das Zurückschneiden durch Rangbetrachtung (oder Trunkierung durch Rangbetrachtung oder Lokalisierung durch Rangbetrachtung)Auf engl.: Cutting Down Classes to Sets, auch bekannt als Scott's trick. ist eine in der Mengenlehre verwendete und von TarskiTarski A., General principles of induction and resursion; The Notation of rank in axiomatic set theory and some of its applications, 1955, Bull. Amer. Math., 61, S. 442–443 und Scott 1955 vorgeschlagene Methode, wie man das Studium einer Klasse auf das Studium ihrer Teilmengen beschränken kann.Deiser O., Einführung in die Mengenlehre, Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, 2.6, 2.8
Um dies zu erreichen, definiert man für eine Klasse die Teilklasse , wenn die Rangfunktion ist.Levy A., Basic Set Theory, Springer, 1979, ISBN 3-540-08417-7, II.7 Die Existenz der Rangfunktion wird entweder durch ein spezielles Axiom gesichert oder mit Hilfe des Fundierungs- und des Ersetzungaxioms bewiesen.Zuckerman M., Sets and Transfinite Numbers, Macmillian Publishing Co., 1974, ISBN 0-02-432110-9, 6.1 Mit
ist eine Menge, deren Rang höchstens beträgt.
Mittels Zurückschneiden durch Rangbetrachtung lassen sich folgende Sätze beweisen: Für jede Relation existiert eine vorgängerkleine Teilrelation mit demselben Definitionsbereich. Für jede Relation existiert eine Teilrelation mit demselben Wertebereich, deren inverse Relation vorgängerklein ist. Wenn jede nicht leere Menge ein -kleinstes Element hat, dann hat auch jede nicht leere Klasse ein -kleinstes Element und für jede mengentheoretische Formel gilt: (Verallgemeinerung des Induktionsprinzipes). Für jede Menge und endlich viele Relationen existiert eine für jedes fast -abgeschlossene Menge . Für jede Äquivalenzrelation existiert eine Funktion , die
erfüllt.
Einzelnachweise
Kategorie:Mengenlehre