Die Gell-Mann-Matrizen, benannt nach Murray Gell-Mann, sind eine mögliche Darstellung der infinitesimalen Erzeugenden der speziellen unitären Gruppe SU(3).
Diese Gruppe hat acht hermitesche Erzeugende, die man als mit schreiben kann. Sie erfüllen die Kommutatorrelation (siehe: Lie-Algebra)
(wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde). Die werden als Strukturkonstanten bezeichnet und sind komplett-antisymmetrisch bezüglich Vertauschung der Indizes. Für die SU(3) haben sie die Werte:
Jeden Satz von Matrizen, die die Kommutatorrelation erfüllen, kann man als Erzeugende der Gruppe verwenden.
Die Gell-Mann-Matrizen sind ein Standardsatz solcher Matrizen. Mit den obigen Erzeugenden sind sie (analog zu den Pauli-Matrizen) verknüpft durch:
Sie sind als 3×3-Matrizen gewählt und haben die Form:
Die ersten drei erkennt man praktisch als die drei Pauli-Matrizen wieder, die eine SU(2) Untergruppe erzeugen.
Die -Matrizen haben folgende Eigenschaften: Sie sind hermitesch, haben also nur reelle Eigenwerte. Sie sind spurlos, das heißt . Sie sind orthogonal bezüglich des Frobenius-Skalarprodukts, das heißt .
Anwendung finden sie z. B. bei Berechnungen in der Quantenchromodynamik, die durch eine SU(3)-Theorie beschrieben wird. Daraus kann man auch die Wahl als 3×3-Matrizen verstehen, da die Matrizen auf Farbladungstriplets wirken sollen.
Siehe auch Standardmodell (Eichgruppe: SU(3)×SU(2)×U(1)) Quarks
Literatur Howard Georgi: Lie algebras in particle physics. ISBN 0-7382-0233-9 J. J. J. Kokkedee: The Quark model.
Kategorie:Darstellungstheorie von Lie-Gruppen Kategorie:Quantenfeldtheorie