Die Delta-Methode ist in der asymptotischen Statistik eine Methode um die asymptotische Normalverteilung der Funktion einer asymptotisch normalverteilten Zufallsvariablen zu bestimmen.
Univariater Fall Aussage Wenn für eine Folge von Zufallsvariablen mit zwei endlichen Konstanten und
gilt, wobei die Konvergenz in Verteilung bezeichnet, dann gilt für eine differenzierbare Funktion mit :
Beispiel Es sei eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswert und Varianz . Für die Folge der zufälligen arithmetischen Mittel folgt dann aus dem zentralen Grenzwertsatz der Statistik . Wenn man sich für die asymptotische Verteilung von interessiert, dann ist , , und . Die Delta-Methode ergibt dann
Verallgemeinerung Für den Fall und gibt es eine Verallgemeinerung der Delta-Methode, die Delta-Methode zweiter Ordnung, die besagt, dass
wobei eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist.
Multivariater Fall Für eine Folge -dimensionaler Zufallsvektoren gelte
mit und einer positiv semidefiniten Matrix . Für eine differenzierbare Funktion bezeichne den Spaltenvektor der partiellen Ableitungen der Funktion an der Stelle , der komponentenweise von Null verschieden ist. Dann gilt .
Funktionale Delta-Methode Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen einer unendlich-dimensionalen Zufallsvariable (eines stochastischen Prozesses) durch die funktionale Delta-Methode. Die funktionale Delta-Methode wird manchmal auch als Von-Mises-Methode bezeichnet.
Siehe auch Fehlerfortpflanzung Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Mathematische Statistik