Die folgende Liste enthält eine Auswahl endlicher Gruppen kleiner Ordnung.

Diese Liste kann benutzt werden, um herauszufinden, zu welchen bekannten endlichen Gruppen eine Gruppe G isomorph ist. Als erstes bestimmt man die Ordnung von G und vergleicht sie mit den unten aufgelisteten Gruppen gleicher Ordnung. Ist bekannt, ob G abelsch (kommutativ) ist, so kann man einige Gruppen ausschließen. Anschließend vergleicht man die Ordnung einzelner Elemente von G mit den Elementen der aufgelisteten Gruppen, wodurch man G bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen kann.

Glossar In der nachfolgenden Liste werden folgende Bezeichnungen verwendet: ist die zyklische Gruppe der Ordnung (die auch als oder geschrieben wird). ist die Diedergruppe der Ordnung . ist die symmetrische Gruppe vom Grad , mit n! Permutationen von Elementen. ist die alternierende Gruppe vom Grad , mit Permutationen von Elementen für . ist die dizyklische Gruppe der Ordnung . ist die Klein’sche Vierergruppe der Ordnung . ist die Quaternionengruppe der Ordnung für .

Die Notation wird benutzt, um das direkte Produkt der Gruppen und zu bezeichnen. Es wird angemerkt, ob eine Gruppe abelsch oder einfach ist. (Für Gruppen der Ordnung sind die einfachen Gruppen genau die zyklischen Gruppen , mit aus der Menge der Primzahlen.) In den Zykel-Graphen der Gruppen wird das neutrale Element durch einen ausgefüllten schwarzen Kreis dargestellt. Ordnung ist die kleinste Ordnung, für welche die Gruppenstruktur durch den Zykel-Graphen nicht eindeutig bestimmt ist: Die nichtabelsche modulare Gruppe und haben den gleichen Zykel-Graphen und den gleichen (modularen) Untergruppenverband, sind aber nicht isomorph.

Es ist zu beachten, dass bedeutet, dass es 3 Untergruppen vom Typ gibt (nicht die Nebenklasse von ).

Zu jeder Ordnung wird zunächst die zyklische Gruppe angegeben, dann folgen gegebenenfalls weitere abelsche Gruppen und dann gegebenenfalls nichtabelsche Gruppen:

Liste aller Gruppen bis Ordnung 24

Ordnung Gruppe Echte UntergruppenIn der Liste der Untergruppen werden die trivialen Untergruppen (die einelementige Gruppe und die Gruppe selbst) nicht aufgelistet. Eigenschaften Zykel-Graph 1   (triviale Gruppe) - abelsch, zyklisch zentriert 2   (Gruppe Z2) - abelsch, einfach, zyklisch, kleinste nichttriviale Gruppe zentriert 3 - abelsch, einfach, zyklisch zentriert 4 abelsch, zyklisch zentriert   (Kleinsche Vierergruppe) abelsch, die kleinste nichtzyklische Gruppe zentriert 5 - abelsch, einfach, zyklisch zentriert 6 , abelsch, zyklisch zentriert   (Symmetrische Gruppe) , kleinste nichtabelsche Gruppe zentriert 7 - abelsch, einfach, zyklisch zentriert 8 , abelsch, zyklisch zentriert , , abelsch zentriert , abelsch zentriert , , nichtabelsch zentriert   (Quaternionengruppe) , nichtabelsch; die kleinste hamiltonsche Gruppe zentriert 9 abelsch, zyklisch zentriert abelsch zentriert 10 , abelsch, zyklisch zentriert , nichtabelsch zentriert 11 - abelsch, einfach, zyklisch zentriert 12 , , , abelsch, zyklisch zentriert , , , abelsch zentriert , , , , nichtabelsch zentriert   (Gruppe A4) , , nichtabelsch; kleinste Gruppe, die zeigt, dass die Umkehrung des Satzes von Lagrange nicht stimmt: keine Untergruppe der Ordnung 6 zentriert (hier Verknüpfungstafel) , , , nichtabelsch zentriert 13 - abelsch, einfach, zyklisch zentriert 14 , abelsch, zyklisch zentriert , nichtabelsch zentriert 15 , abelsch, zyklisch (siehe „Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch.“) zentriert 16 , , abelsch, zyklisch zentriert , , abelsch zentriert , , , , abelsch zentriert , , , , abelsch zentriert , , , abelsch zentriert , , , , nichtabelsch zentriert , , , , , nichtabelsch zentriert , , , nichtabelsch zentriert , , , , nichtabelsch, hamiltonsche Gruppe zentriert Quasi-Diedergruppe , , , , , nichtabelsch zentriert Nichtabelsche nicht-hamiltonsche modulare Gruppe , , , , nichtabelsch zentriert Semidirektes Produkt (siehe hier) , , , nichtabelsch zentriert Die durch Pauli-Matrizen erzeugte Gruppe. , , , , , nichtabelsch zentriert , , , , nichtabelsch zentriert 17 - abelsch, einfach, zyklisch 70px|zentriert 18 abelsch, zyklisch 70px|zentriert abelsch 70px|zentriert nichtabelsch 70px|zentriert nichtabelsch 70px|zentriert mit nichtabelsch 70px|zentriert 19 - abelsch, einfach, zyklisch 70px|zentriert 20 abelsch, zyklisch 70px|zentriert abelsch 70px|zentriert nichtabelsch 100px|zentriert AGL1(5) nichtabelsch 70px|zentriert nichtabelsch 70px|zentriert21 abelsch, zyklischzentriert|70x70px nichtabelschzentriert|70x70px22 abelsch, zyklischzentriert|70x70px nichtabelschzentriert|70x70px23 -abelsch, einfach, zyklischzentriert|70x70px24 abelsch, zyklischzentriert|70x70px abelschzentriert|70x70px abelschzentriert|73x73px nichtabelschzentriert|70x70pxSL(2,3) nichtabelschzentriert|70x70px nichtabelschzentriert|89x89px nichtabelschzentriert|70x70px nichtabelschzentriert|70x70px nichtabelschzentriert|75x75px nichtabelsch nichtabelschzentriert|70x70px nichtabelschzentriert|70x70px nichtabelschzentriert|77x77px nichtabelschzentriert|70x70px nichtabelschzentriert|86x86px

Einfache Struktursätze Die folgenden Aussagen sind sehr elementare Struktursätze, deren Auswirkung sich deutlich in obiger Liste widerspiegelt.

Ist eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung isomorph zur zyklischen Gruppe .Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag, 1967, Kap. I, § 2, Satz 2.10.

Ist eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung abelsch,Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag (1967), Kap. I, § 6, Satz 6.10. genauer isomorph zur zyklischen Gruppe oder zum direkten Produkt .Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 2.2.12.

Ist eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung isomorph zur zyklischen Gruppe oder zur Diedergruppe .Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Beispiel 2.2.11 e.

Sind und Primzahlen mit und ist kein Teiler von , dann ist jede Gruppe der Ordnung isomorph zur zyklischen Gruppe .Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag (1967), Kap. I, § 8, Satz 8.10.

„The SmallGroups Library“ Das Computeralgebrasystem GAP enthält die Programmbibliothek SmallGroups Library, die eine Beschreibung von Gruppen kleiner Ordnung enthält. Diese sind alle bis auf Isomorphie aufgelistet. Momentan (GAP Version 4.8.8) enthält die Bibliothek Gruppen folgender Ordnung: alle der Ordnung bis , außer den Gruppen der Ordnung (bleiben Gruppen); alle Gruppen, deren Ordnung für keine Primzahl von geteilt wird, für ( Gruppen); alle der Ordnung , wobei eine der Primzahlen oder ist ( Gruppen); alle der Ordnung mit einer beliebigen Primzahl und ; alle der Ordnung mit teilt oder und ist eine beliebige von verschiedene Primzahl; alle Gruppen, deren Ordnung für keine Primzahl von geteilt wird (d. h. ist quadratfrei); alle Gruppen, deren Ordnung in höchstens drei Primzahlen zerlegbar ist.

Diese Bibliothek wurde von Hans Ulrich Besche, Bettina Eick und Eamonn O’Brien erstellt.The SmallGroups library. Bei: www.gap-system.org.

Weblinks Thomas Keilen: Endliche Gruppen.

Ausführliche Klassifikation der Gruppen bis Ordnung 28 (englisch).

Einzelnachweise

Kleine Gruppen Kategorie:Endliche Gruppe