Als Baric-Algebra bezeichnet man eine lineare Algebra mit einer nichttrivialen Gewichtsfunktion (, von ). Baric-Algebren sind eine Verallgemeinerung der in der theoretischen Biologie betrachteten genetischen Algebren.
Definition Eine (nicht notwendigerweise assoziative) Algebra über einem Körper heißt Baric-Algebra, wenn es einen nichttrivialen Algebrenhomomorphismus gibt. wird Gewichtsfunktion genannt, heißt Gewicht von .
Der Begriff der Baric-Algebra wurde 1939 von I.M.H. Etherington bei der Untersuchung genetischer Algebren eingeführt. Aus darstellungstheoretischer Sicht ist eine Baric-Algebra eine Algebra mit einer nichttrivialen Darstellung über ihrem Skalarkörper. Nicht-assoziative Algebren haben im Allgemeinen gar keine Matrix-Darstellung, deren einfachste Form eine Darstellung über dem Skalarkörper ist.
Charakterisierungen Eine nicht-assoziative -Algebra ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn es so ein Ideal gibt, so dass Eine nicht-assoziative -dimensionale -Algebra ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn sie eine genetische Basis besitzt, das heißt, zwischen den Basiselementen besteht eine Beziehung mit Koeffizienten , für welche gilt: . Eine nicht-assoziative -dimensionale -Algebra ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn es ein -dimensionales Ideal gibt, für das gilt: .
Beispiele mit dem Vektorprodukt als Multiplikation bildet eine nicht-assoziative -Algebra. Dies ist keine Baric-Algebra, denn es gibt darin kein Ideal der Dimension 2, das aber benötigt würde, damit der Quotient zu isomorph wäre. Allgemeiner lässt sich zeigen, dass halbeinfache Lie-Algebren keine Baric-Algebren sind. mit zwei Basisvektoren , auf denen eine Multiplikation folgendermaßen erklärt ist: . Damit ist eine genetische Basis gegeben und eine Baric-Algebra definiert; die Multiplikation ist nicht assoziativ: . Eine nicht-triviale Gewichtsfunktion ist . Gametische Algebra G der einfachen mendelschen Vererbung: mit zwei Basisvektoren und folgender Multiplikationstafel: . ist eine Baric-Algebra mit Gewichtsfunktion .
Literatur Rudolf Lidl, Johann Wiesenbauer: Ringtheorie und Anwendungen: Grundlagen und Anwendungsbeispiele in der Kodierungstheorie und in der Genetik. Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden 1980, ISBN 3-400-00371-9 Angelika Wörz-Busekros: Algebras in Genetics. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1980, ISBN 3-540-09978-6. I.M.H. Etherington: Genetic Algebras. In: Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 59, 1939, S. 242–258
Kategorie:Algebra