Der Atiyah-Singer-Indexsatz ist eine zentrale Aussage aus der globalen Analysis, einem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie. Er besagt, dass für einen elliptischen Differentialoperator auf einer kompakten Mannigfaltigkeit der analytische Index (Fredholm-Index, eng verbunden mit der Dimension des Lösungsraums) gleich dem scheinbar allgemeineren, aber einfacher zu berechnenden topologischen Index ist. (Dieser wird über topologische Invarianten definiert.)
Man kann also darauf verzichten, den kompliziert zu ermittelnden analytischen Index auszurechnen. Der Satz ist daher gerade für die Anwendungen wichtig, obwohl er eher das Abstrakte betont.
Viele andere wichtige Sätze wie der Satz von Riemann-Roch oder der Satz von Gauß-Bonnet sind Spezialfälle. Der Satz wurde 1963 von Michael Atiyah und Isadore M. Singer bewiesen: Sie erhielten dafür den Abelpreis 2004. Der Satz hat auch Anwendungen in der theoretischen Physik.
Ein Zitat
Vorweg ein Zitat aus der offiziellen Würdigung für Atiyah und Singer zum Abelpreis 2004: „Wissenschaftler beschreiben die Welt durch Größen und Kräfte, die in Raum und Zeit veränderlich sind. Die Naturgesetze werden oft durch Formeln für deren Veränderungsrate ausgedrückt, Differentialgleichungen genannt. Solche Formeln können einen ‚Index‘ haben, die Zahl der Lösungen der Formeln minus der Zahl der Beschränkungen, die diese den zu berechnenden Größen auferlegen. Der Atiyah-Singer-Indexsatz berechnet diesen Index aus der Geometrie des zugrundeliegenden Raumes. Ein einfaches Beispiel liefert M. C. Eschers berühmtes paradoxes Bild ‚Aufsteigen und Absteigen‘, in dem die Leute zwar die ganze Zeit aufsteigen, sich aber dennoch im Kreis um den Schlosshof bewegen. Der Indexsatz hätte ihnen gesagt, dass das unmöglich ist.“
Mathematische Präliminarien
ist eine glatte kompakte Mannigfaltigkeit (ohne Rand). und sind glatte Vektorbündel über . ist ein elliptischer Differentialoperator von auf . Das heißt, in lokalen Koordinaten wirkt er als Differentialoperator, der glatte Schnitte des Vektorbündels auf solche von abbildet.
Symbol eines Differentialoperators
Falls ein Differentialoperator der Ordnung in Variablen
ist, ist sein Hauptsymbol eine Funktion der Variablen ,
die dadurch gegeben ist, dass man alle Terme von kleinerer Ordnung als weglässt und durch ersetzt. Das Hauptsymbol ist also homogen in den Variablen vom Grad . Es ist wohldefiniert (obwohl nicht mit kommutiert), da nur der höchste Term behalten wurde und Differentialoperatoren bis auf niedrigere Terme kommutieren. Der Operator wird elliptisch genannt, falls das Hauptsymbol ungleich 0 ist, wenn mindestens ein ungleich 0 ist.
Beispiel für : Der Laplaceoperator in Variablen hat das Symbol und ist somit elliptisch, da es ungleich 0 ist, wenn einer der ungleich 0 ist. Die Wellengleichung hat dagegen das Hauptsymbol , das für nicht elliptisch ist. Das Hauptsymbol verschwindet hier für einige ungleich 0.
Das Hauptsymbol eines Differentialoperators der Ordnung auf einer glatten Mannigfaltigkeit ist ganz ähnlich definiert unter Benutzung lokaler Koordinatenkarten. Es ist eine Funktion des Kotangentialbündels von und ist homogen vom Grad auf jedem Kotangentialraum. Allgemeiner ist das Hauptsymbol eines Differentialoperators zwischen zwei Vektorbündeln und ein Schnitt des zurückgezogenen Bündels
zum Kotangentialraum von . Der Differentialoperator heißt elliptisch, wenn das Element von für alle Kotangential-Vektoren ungleich 0 bei jedem Punkt von invertierbar ist.
Eine wichtige Eigenschaft elliptischer Operatoren ist, dass sie fast invertierbar sind, was eng damit verbunden ist, dass ihre Hauptsymbole fast invertierbar sind. Präziser bedeutet dies, dass ein elliptischer Operator auf einer kompakten Mannigfaltigkeit eine (nicht eindeutige) Parametrix hat, sodass sowohl als auch dessen Adjungiertes, kompakte Operatoren sind. Die Parametrix eines elliptischen Differentialoperators ist meistens kein Differential-, sondern ein Integraloperator (allgemeiner: ein elliptischer sog. Pseudodifferentialoperator). Eine wichtige Folge ist, dass der Kern von endlichdimensional ist, da alle Eigenräume kompakter Operatoren endlichdimensional sind.
Die beiden Indizes
Analytischer Index
Da der elliptische Differentialoperator eine Pseudoinverse hat, ist er ein Fredholm-Operator. Jeder Fredholm-Operator hat einen Index, definiert als Differenz der (endlichen) Dimensionen des Kerns von (also der Lösungen der homogenen Gleichung ) und des Kokerns von (der einschränkenden Bedingungen an die rechte Seite (inhomogene Gleichungen wie ), oder äquivalent: der Kern des adjungierten Operators ), also
Beispiel für : Angenommen, die Mannigfaltigkeit sei ein Kreis (als gedacht), und der Operator für eine komplexe Konstante . (Das ist das einfachste Beispiel eines elliptischen Operators). Dann ist der Kern von , also der auf null abgebildete Teil, gleich dem von allen Termen der Form aufgespannte Raum, falls , und gleich 0 in den anderen Fällen. Beim Kern des adjungierten Operators wird einfach durch sein Komplex-konjugiertes ersetzt.
Bei diesem Beispiel hat also den Index 0, wie bei selbstadjungierten Operatoren, obwohl der Operator nicht selbstadjungiert ist. Das Beispiel zeigt aber zugleich, dass Kern und Kokern eines elliptischen Operators unstetig springen können, falls man den elliptischen Operator so variiert, dass die oben erwähnten „anderen Fälle“ erfasst werden. Es gibt also selbst bei diesem einfachen Beispiel keine durch topologische Größen ausgedrückte schöne Formel für den Index. Da die Sprünge in den Dimensionen von Kern und Kokern aber gleich sind, ist ihre Differenz, der Index, zwar nicht null, ändert sich aber stetig und kann durch topologische Größen ausgedrückt werden.
Topologischer Index
Im Folgenden sei die kompakte Mannigfaltigkeit zusätzlich -dimensional und orientierbar und bezeichne ihr Tangentialbündel. Ferner seien und zwei hermitesche Vektorbündel.
Der topologische Index des elliptischen Differentialoperators zwischen den Schnitten der glatten Vektorbündel und ist durch
gegeben. Mit anderen Worten, es handelt sich um den Wert der höchstdimensionalen Komponente der gemischten Kohomologieklasse (mixed cohomology class) auf der fundamentalen Homologieklasse von Dabei ist:
die sog. Todd-Klasse von . Mit wird die i-te Chern-Klasse des Bündels bezeichnet. Ferner seien
die Fundamentalklasse von und
, wobei der Thom-Isomorphismus, das Einheitsball-Bündel des Kotangentialbündels, dessen Rand, der Chern-Charakter von der topologischen K-Theorie auf dem rationalen Kohomologiering , das Differenz-Element („difference element“) von zu den zwei Vektorbündeln und und dem Hauptsymbol , das ein Isomorphismus auf dem Unterraum ist. Das Objekt kann äquivalent auch als der Chern-Charakter des Indexbündels verstanden werden.
Eine andere Methode der Definition des topologischen Index nutzt systematisch die K-Theorie. Wenn eine kompakte Untermannigfaltigkeit von ist, gibt es eine pushforward-Operation von nach . Der topologische Index eines Elements von ist als Bild dieser Operation definiert, wobei ein euklidischer Raum ist, für den auf natürliche Weise mit den ganzen Zahlen identifiziert werden kann. Der Index ist unabhängig von der Einbettung von in den euklidischen Raum.
Der Atiyah-Singer-Indexsatz (Gleichheit der Indizes)
D sei wieder ein elliptischer Differentialoperator zwischen zwei Vektorbündeln E und F über einer kompakten Mannigfaltigkeit X.
Das Index-Problem besteht in folgender Aufgabe: Zu berechnen ist der analytische Index von D, einzig unter Benutzung der Symbole, sowie topologischer Invarianten der Mannigfaltigkeit und der Vektorbündel. Der Atiyah-Singer-Indexsatz löst dieses Problem und besagt kurz und bündig:
Der analytische Index von D ist gleich dem topologischen Index.
Der topologische Index kann im Allgemeinen gut berechnet werden, trotz seiner komplexen Formulierung, und im Gegensatz zum analytischen Index.Kern und Ko-Kern sind im Allgemeinen sehr schwer zu berechnen, nach dem Indexsatz gibt es aber eine relativ einfache Formel für die Differenz der Dimensionen. Viele wichtige Invarianten der Mannigfaltigkeit (wie die Signatur) können als Index bestimmter Differentialoperatoren und damit durch topologische Größen ausgedrückt werden.
Obwohl der analytische Index schwer zu berechnen ist, ist er zumindest eine ganze Zahl, während der topologische Index nach Definition auch „rational“ sein könnte und „Ganzheit“ keineswegs offensichtlich ist. Der Indexsatz macht so auch für die Topologie tiefliegende Aussagen.
Der Index eines elliptischen Operators verschwindet offensichtlich, falls der Operator selbstadjungiert ist. Auch bei Mannigfaltigkeiten ungerader Dimension verschwindet der Index bei elliptischen Differentialoperatoren, es gibt aber elliptische Pseudodifferentialoperatoren, deren Index bei ungeraden Dimensionen nicht verschwindet.
Beispiele Euler-Poincaré-Charakteristik
Die Mannigfaltigkeit sei kompakt und orientierbar. sei die Summe der geraden äußeren Produkte des Kotangentialbündels, die Summe der ungeraden äußeren Produkte, sei , eine Abbildung von nach . Dann ist der topologische Index von die Euler-Poincaré-Charakteristik von und der analytische Index ergibt sich aus dem Indexsatz als alternierende Summe der Dimensionen der De-Rham-Kohomologiegruppen.
Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch
Sei eine komplexe Mannigfaltigkeit mit einem komplexen Vektorbündel . Die Vektorbündel und sind die Summen der Bündel der Differentialformen mit Koeffizienten in vom Typ (0,i), wobei gerade oder ungerade ist. Der Differentialoperator sei die Summe
eingeschränkt auf , wobei der Dolbeault-Operator und sein adjungierter Operator ist. Dann ist der analytische Index von die holomorphe Euler-Poincaré-Charakteristik von :
Der topologische Index von ist durch
gegeben als Produkt des Chern-Charakters von und der Todd-Klasse von , berechnet auf der Fundamentalklasse von
Gleichsetzen von topologischem und analytischem Index liefert den Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch, der den Satz von Riemann-Roch verallgemeinert. Tatsächlich bewies Hirzebruch den Satz nur für projektive komplexe Mannigfaltigkeiten in obiger Form gilt er allgemein für komplexe Mannigfaltigkeiten.
Diese Ableitung des Satzes von Hirzebruch-Riemann-Roch kann auch „natürlicher“ unter Verwendung des Indexsatzes für elliptische Komplexe statt für elliptische Operatoren abgeleitet werden. Der Komplex sei durch
mit dem Differential gegeben. Dann ist die -te Kohomologiegruppe gerade die kohärente Kohomologiegruppe , sodass der analytische Index dieses Komplexes die holomorphe Euler-Charakteristik ist. Wie zuvor ist der topologische Index .
Signatursatz von Hirzebruch
Sei eine orientierte kompakte glatte Mannigfaltigkeit der Dimension . Der Signatur-Satz von Hirzebruch besagt, dass die Signatur der Mannigfaltigkeit durch das L-Geschlecht von gegeben ist. Das folgt aus dem Atiyah-Singer-Indexsatz angewandt auf den Signatur-Operator. Der Atiyah-Singer-Indexsatz besagt also in diesem Spezialfall
Diese Aussage wurde 1953 von Friedrich Hirzebruch mittels Kobordismustheorie bewiesen.Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 161.Hirzebruch: The Signature Theorem. Reminiscences and recreation. Prospects in Mathematics, Annals of Mathematical Studies, Band 70, 1971, S. 3–31.
Â-Geschlecht und der Satz von Rochlin