mini|Totzeit-Glied im Strukturbild Als Totzeit (auch Laufzeit oder Transportzeit genannt) wird in der Regelungstechnik die Zeitspanne zwischen der Signaländerung am Systemeingang und der Signalantwort am Systemausgang einer Regelstrecke bezeichnet. Jede Änderung des Eingangssignals ruft eine um die Totzeit verzögerte Änderung des Ausgangssignals hervor. Ein System mit Totzeit ohne zusätzliches Zeitverhalten wird auch als Totzeitglied bezeichnet.
Totzeitglieder lassen sich nicht mit gewöhnlichen Differentialgleichungen, sondern nur über das Frequenzverhalten als transzendente Funktionen (nicht algebraisch) beschreiben. Damit erschweren sie die Parametrierung eines Reglers im Regelkreis, weil sich transzendente Funktionen nicht mit gebrochen rationalen Funktionen eines Übertragungssystems zur algebraischen Berechnung kombinieren lassen. Es kann deshalb sinnvoll sein, je nach verwendeter Programmiersprache Totzeitmodelle zu bestimmen, die näherungsweise als gebrochen rationale Funktionen geschrieben werden können.
Die Untersuchung des Frequenzverhaltens von unterschiedlichen linearen Übertragungssystemen mit einem Totzeitglied bei Anwendung des Bode-Diagramms oder der Ortskurve des Frequenzgangs am aufgeschnittenen Regelkreis dient der Erkennung der Stabilität des geschlossenen Regelkreises, der Systemanalyse von linearen dynamischen Übertragungsgliedern G(s) und Totzeitverhalten.
Die Darstellung des Übertragungsverhaltens im Zeitbereich von Totzeitgliedern in Verbindung mit linearen und nichtlinearen Übertragungsgliedern im Regelkreis kann zu einem vernünftigen Berechnungsaufwand nur mit der numerischen Mathematik erreicht werden. Dabei werden in Abhängigkeit von einem gegebenen Eingangssignal Wertefolgen im zeitdiskreten Abstand berechnet. In einer Grafik lässt sich so ein geschlossenes Zeitverhalten für die Ausgangsgröße und interessierende Zwischengrößen darstellen.
Grundlagen Totzeitglieder Zum Verständnis dieses Artikels wird die Kenntnis der Anwendung der Übertragungsfunktion und der Regelungstechnik vorausgesetzt.
Das Totzeitglied ist ein in der Praxis häufig vorkommendes Übertragungsglied und wirkt meist in Verbindung mit weiteren Verzögerungsgliedern. Es wird durch reine Laufzeit bzw. Transportzeit (Förderband, Rohrleitung) oder bei großen Entfernungen entstehende Signallaufzeiten verursacht. Es verhält sich wie ein P-Glied, dessen Ausgangsgröße verspätet um die Totzeit ankommt, ohne die Eingangsgröße während dieser Zeit zu verzerren. Jede Änderung der Eingangsgröße wirkt um die Totzeit verspätet am Ausgang.Siehe Fachbuch: Lutz / Wendt:
Das Totzeitglied wird nur durch einen Parameter beschrieben. Die Phasenverschiebung der Ausgangsgröße zur Eingangsgröße ist proportional der Totzeit und wächst mit dem Produkt mit steigender Frequenz.
Während Verzögerungsglieder (PT1-Glied) mit steigender Frequenz des Eingangssignals maximal -90° Phasenverschiebung verursachen können, nimmt die Phasenverschiebung bei Totzeitgliedern mit steigender Frequenz ständig zu. Für einen geschlossenen Regelkreis kann diese Phasenverschiebung frühzeitig zu einer Instabilität führen, weil in Abhängigkeit von der Kreisverstärkung die Rückführung der Regelgröße sich von der Gegenkopplung in eine Mitkopplung wandeln kann.
Totzeitglieder sind Nichtphasenminimumsysteme. Ein lineares dynamisches System ist phasenminimal, wenn seine Pole und Nullstellen in der linken s-Halbebene liegen und es keine Totzeit aufweist.
Die Übertragungsfunktion eines linearen dynamischen Systems wird definiert als Quotient der Laplacetransformierten der Ausgangsgröße Y(s) und der Eingangsgröße U(s):
Lineare dynamische Übertragungsglieder werden in der Regelungstechnik durch gebrochen rationale Funktionen im Bildbereich (s-Bereich) beschrieben. Die unabhängige Variable erlaubt beliebige algebraische Operationen im s-Bereich, ist aber nur ein Symbol für eine vollzogene Laplace-Transformation und enthält keinen Zahlenwert. Zahlenwerte entstehen aus den Koeffizienten a und b der Übertragungsfunktion in Polynomdarstellung, indem die Polynome der Übertragungsfunktion durch Nullstellenzerlegung in Linearfaktoren (Produkte) zerlegt werden.
Beispiel einer Übertragungsfunktion 3. Grades eines linearen dynamischen Systems in Zeitkonstanten-Darstellung:
Ist in dem System noch ein Totzeitglied vorhanden, kann dies als transzendente Funktion multiplikativ der gebrochen rationalen Funktion angehängt werden.
Im Zeitbereich interessiert das Verhalten der Ausgangsgröße eines Systems für ein gegebenes Eingangssignal. Transzendente Systeme gestalten sich für verschiedene Verfahren der Reglerauslegung ungünstig. Sie können nicht wie gebrochen rationale Systeme algebraisch im s-Bereich behandelt werden.
Derartige als Reihenschaltung zusammengesetzte Systeme können für die Darstellung im Zeitbereich für den Teil der gebrochen rationalen Funktion mit verschiedenen Methoden berechnet werden. Die Totzeitfunktion mit wird der berechneten Zeitfunktion grafisch additiv zugeschlagen. Dies gilt nicht für den geschlossenen Regelkreis mit einem Totzeitglied in der Regelstrecke.
Frequenzverhalten des Totzeitgliedes Im Gegensatz zu den linearen dynamischen Systemen kann ein Totzeitglied nicht mit einer gewöhnlichen Differentialgleichung beschrieben werden. Einen einfacheren Zusammenhang des Ein-/Ausgangsverhaltens ergibt sich im Bildbereich als Übertragungsfunktion .
Die Funktionalbeziehung eines Totzeitgliedes im Zeitbereich lautet:
Das Eingangssignal erscheint um die Totzeit verzögert unverändert am Ausgang. Daraus ergibt sich die Übertragungsfunktion im Bildbereich:
Die Sprungantwort ergibt sich zu:
Zur Berechnung der Phasenverschiebung wird die Übertragungsfunktion auf der imaginären Achse des Bildbereichs (welche dem Frequenzverhalten entspricht) betrachtet.
Der Phasenwinkel kann jetzt direkt abgelesen werden (siehe hierzu auch Eulersche Identität).
Mit ergibt sich daraus die Phasenverschiebung in Abhängigkeit von der Frequenz:
Ein reines Totzeitglied hat die Verstärkung 1 bzw. die Dämpfung D = 0 [dB]. Die Phasenverschiebung zwischen Eingangssignal und Ausgangssignal erhöht sich bei steigender Frequenz nacheilend um , also proportional zur Frequenz.
Mit steigender Totzeit als Parameter wird ein Regelkreis instabil, was zur Reduzierung der Kreisverstärkung zwingt. Damit wird der Regelkreis träge gegenüber Führungsgrößenänderungen und Störgrößeneinflüssen.
Stabilitätsbetrachtung eines aufgeschnittenen Regelkreises für Systeme mit Totzeit Die klassische Darstellung eines dynamischen Systems mit Totzeit ist das Bode-Diagramm und die Ortskurve des Frequenzgangs. Beide grafischen Verfahren eignen sich zur Stabilitätsbestimmung mittels eines aufgeschnittenen Regelkreises für den geschlossenen Regelkreis. Die Übertragungsfunktion mit kann jederzeit ohne Informationsverlust in den Frequenzgang oder übertragen werden.Der Realteil der Laplace-Variable s wird in der Fachliteratur unterschiedlich bezeichnet: oder , Fachbuchautor Prof. Dr.-Ing. Jan Lunze, Universität Bochum, bevorzugt .
mini|Beispiel eines Bode-Diagramms für 2 PT1-Glieder mit den Eckfrequenzen bei und .
Stabilitätsbedingung im Bode-Diagramm mit dem vereinfachten Stabilitätskriterium von Nyquist Beim Bode-Diagramm werden Betrag und Phasenwinkel in zwei getrennten Diagrammen aufgetragen, als Amplitudengang und Phasengang. Das Bode-Diagramm hat einen logarithmischen Maßstab. Beim Amplitudengang (doppelt logarithmisch) ist der Betrag F(jω) auf der Ordinate, die Kreisfrequenz ω auf der Abszisse aufgetragen. Beim Phasengang ist der Phasenwinkel (linear) auf der Ordinate, die Kreisfrequenz ω auf der Abszisse (logarithmisch) aufgetragen.
Die Vorteile dieses Verfahrens sind das unmittelbare Einzeichnen der Asymptoten als Geraden des Amplitudengangs, die bequeme Multiplikation durch logarithmische Addition, das direkte Ablesen der Zeitkonstanten und das schnelle Erkennen der Stabilität des geschlossenen Regelkreises. Bei phasenminimalen Systemen ist der Phasengang aus dem Amplitudengang berechenbar und braucht nicht unbedingt gezeichnet zu werden. Dies gilt nicht für Systeme mit einem Totzeitglied.
Frequenzverhalten von Regelkreisgliedern: Ein PT1-Verzögerungsglied zeigt beim Amplitudengang mit steigender Frequenz ab der Eckfrequenz (Schnittpunkt der Asymptoten) ein um 45° abfallendes Amplitudenverhältnis. Der Phasengang des sinusförmigen Ausgangssignals ist gegenüber dem sinusförmigen Eingangssignal nacheilend um maximal φ = -90° verschoben. Ein PD1-Glied zeigen beim Amplitudengang mit steigender Frequenz ab der Eckfrequenz ein um 45° steigendes Amplitudenverhältnis. Der Phasengang des sinusförmigen Ausgangssignals ist gegenüber dem sinusförmigen Eingangssignal voreilend um maximal φ = 90° verschoben. Ein I-Glied zeigt beim Amplitudengang mit steigender Frequenz eine linear mit φ = 45° abfallende gerade Linie als Amplitudenverhältnis. Ein I-Glied zeigt beim Phasengang mit steigender Frequenz eine zunehmend auf φ = -90° nacheilende Phasenverschiebung. Ein Totzeitglied zeigt beim Amplitudengang mit steigender Frequenz immer das Amplitudenverhältnis mit der Verstärkung 1. Der Phasengang des Totzeitgliedes steigt proportional mit der Frequenz nacheilend bis ins Unendliche.
Das Stabilitätskriterium ist aus dem Stabilitätskriterium von Nyquist abgeleitet:
Ein geschlossener Regelkreis ist stabil, wenn die nacheilende Phasenverschiebung φ vom Ausgangs- zum Eingangssignal des offenen Kreises bei der Kreisverstärkung K = 1 und φ > −180° beträgt. Die Dämpfung des geschlossenen Kreises wird umso günstiger, je größer der Phasenabstand zu der −180° -Linie beträgt. Dieser Abstand, der oberhalb der – 180°-Linie liegt, nennt man Phasenrand oder auch Phasenreserve und sollte bei etwa 50° ±10° liegen.
Anmerkung: Ist der Amplitudengang auf der Ordinate in dB (Dezibel) aufgetragen, entspricht 0 dB dem Amplitudenverhältnis 1. Der Wert 20 dB entspricht dem Amplitudenverhältnis 10.
mini|Nyquistdiagramm des PT1Tt-Glieds eines aufgeschnittenen Regelkreises.
Stabilitätsbedingung mit der Ortskurve des Frequenzgangs Der Frequenzgang ist eine komplexe Größe und wird zur grafischen Darstellung in Realteil und Imaginärteil getrennt.
Die Frequenzganggleichung (Frequenzgang) des aufgeschnittenen Regelkreises wird nach Realteil und Imaginärteil aufgelöst und in ein Koordinatensystem eingetragen. Die senkrechte Achse zeigt die Daten der Imaginärteile, die waagerechten Achse die Realteile. Nach Nyquist lautet die Stabilitätsbedingung:
Wird beim Durchlaufen der Ortskurve des aufgeschnittenen Regelkreises in Richtung steigender Werte von der kritische Punkt (-1; j0) auf der linken (negativen) Seite der Achse der Realteile nicht umschlungen bzw. berührt, ist der geschlossene Regelkreis stabil. Aus praktischen Erwägungen sollte der kritische Punkt (-1; j0) auf (-0,5; j0) verlegt werden, um eine gewisse Stabilitätsreserve zu erzielen.
Die in der Abbildung dargestellte Ortskurve des Frequenzgangs eines Beispiels für den aufgeschnittenen Regelkreis:
zeigt laut Abstand von dem kritischen Punkt (-1; j0) der Abszisse des Realteils von 0,5 einen stabilen geschlossenen Regelkreis. Die P-Verstärkung ist auf der Abszisse direkt ablesbar und entspricht dem Abstand der Punkte .
Anmerkung: Die Ortskurve für ein einzelnes Totzeitglied macht im s-Diagramm mit steigender Frequenz unendlich viele Umläufe auf einer Kreisbahn mit dem Radius . Die Reihenschaltung eines Totzeitgliedes mit einem PT1-Glied (Halbkreis im 4. Quadranten) ergibt durch Addition der beiden Ortskurven den spiralförmigen Verlauf.
Grundlagen der numerischen Berechnung von dynamischen Übertragungssystemen