Der harmonische Oszillator in der Quantenmechanik beschreibt, analog zum harmonischen Oszillator in der klassischen Physik, das Verhalten eines Teilchens in einem Potential der Form . mit Auslenkung, Richtgröße, Masse, Kreisfrequenz Ein solches quadratisches Potential bezeichnet man auch als harmonisches Potential. Klassisch erhält man dieses Potential für ein System, dessen Rückstellkraft proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage ist.

Da ein beliebiges Potential in der Nachbarschaft einer stabilen Gleichgewichtslage oft näherungsweise als harmonisches Potential beschrieben werden kann, ist dies eines der wichtigsten Modellsysteme in der Quantenmechanik. Zudem ist es eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, für die eine genaue analytische Lösung bekannt ist.

Hamilton-Operator und Eigenzustände im eindimensionalen Fall Der Hamilton-Operator oder auch Energieoperator, der in der Quantenmechanik die Gesamtenergie (kinetische Energie + potentielle Energie) beschreibt, ist für den harmonischen Oszillator

Dabei ist die Teilchenmasse und die Eigenkreisfrequenz des Oszillators. In der hier gewählten Ortsdarstellung ist der Ortsoperator und der Impulsoperator . Die quadrierte Ortsableitung ist durch den Laplace-Operator ausgedrückt.

Die stationäre Schrödinger-Gleichung

für den eindimensionalen harmonischen Oszillator lautet damit

mini|hochkant=1.8|Orts-Wellenfunktionen eines Teilchens im harmonischen Potential in den Zuständen n=0…7 mini|hochkant=1.8|Zu den Orts-Wellenfunktionen gehörende Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte.

Normierbare Lösungen dieser linearen Differentialgleichung ergeben sich nur für die Eigenwerte .

Die Lösungsfunktionen, also die Energieeigenfunktionen des harmonischen Oszillators, sind die Hermite-Funktionen (Herleitung z. B. über die Leiteroperatormethode möglich, s. u.):

.

Die charakteristische Längen-Konstante

wird als Oszillatorlänge bezeichnet und kann als natürliche Längeneinheit genutzt werden. Mit

vereinfacht sich die letzte Formel zu .

Dabei sind die Hermite-Polynome: oder äquivalent

also

Der Grundzustand hat die Form einer Gauß-Kurve mit der Operatorlänge als Standardabweichung. Er bildet ein Wellenpaket, das nur aus einem Wellenberg besteht und das minimale Produkt aus Orts- und Impulsunschärfe aufweist:

.

Die nebenstehende obere Grafik zeigt oben die ersten acht Wellenfunktionen , das Bild darunter deren Betragsquadrat, welche die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens angibt. Das gegebene harmonische Potential ist die blaue Parabel. Die Höhen der Nulllinien entsprechen den Energieniveaus, so dass ihre Schnittpunkte mit der Potentialkurve die Orte kennzeichnen, an denen ein klassisches Teilchen gleicher Energie umkehren würde. Der schnelle Abfall der Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Außenbereich rührt in der Formel für die von dem Faktor her.

Nullpunktenergie mini|hochkant=1.8|Vergleich zwischen klassischem und quantenmechanischem Oszillator

Der Zustand mit der niedrigsten Energie liegt somit über dem Potentialminimum. Dadurch ist das Teilchen in Übereinstimmung mit der heisenbergschen Unschärferelation nicht exakt bei lokalisiert, wie man es von einem klassischen Oszillator erwarten würde. Man spricht hier von einer Nullpunktenergie bzw. Nullpunktsschwingung. In den Quantenfeldtheorien führt dies zu Vakuumfluktuationen.

Die Leiteroperatormethode Das Problem des harmonischen Oszillators in der Quantenmechanik lässt sich auch mithilfe der Methode der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren behandeln. Sie wurde von Paul Dirac, basierend auf Arbeiten von Niels Bohr und Otto Wiener, entwickelt und wird auch algebraische Methode genannt.

Für diesen Lösungsweg definiert man den dimensionslosen Operator

Der adjungierte Operator ist dann

Daraus folgt die Darstellung des Ortsoperators und des Impulsoperators durch

.

Unter Benutzung der kanonischen Vertauschungsrelation kann man den Hamiltonoperator dann durch das Produkt aus und darstellen:

Ebenso ergibt sich die Vertauschungsrelation , mit der man die Operatoridentitäten und zeigen kann.

Angewandt auf einen Energieeigenzustand , ergeben diese Gleichungen, dass ebenfalls ein Energieeigenzustand ist, und zwar zu einer um höheren Energie. Entsprechend ist Eigenzustand zur um niedrigeren Energie. Da die Anwendung dieser Operatoren die Energie des Zustandes um jeweils ein Energiequant verändern, bezeichnet man sie als Leiteroperatoren oder auch als Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren oder als Auf- und Absteigeoperatoren. Da der Operator als Summe von Quadraten hermitescher Operatoren positiv definit ist, ist die Energie nach unten beschränkt. Wiederholte Anwendung des Absteigeoperators auf einen Eigenzustand würde aber zu negativen Eigenwerten der Energie führen, wenn dies nicht an einem Zustand dadurch abbricht, dass gleich dem Nullvektor ist. Dieser ist der Grundzustand, seine Eigenwertgleichung ist

Die Grundzustandsenergie ist also . Der -te angeregte Zustand ergibt sich durch -fache Anwendung des Aufsteigeoperators: . (Der Vorfaktor ergibt sich aus der Forderung, dass die Eigenzustände normiert sein sollen.) Seine Energie ist . Zur Vereinfachung schreibt man die Eigenzustände zur Energie auch einfach als . Aus der Darstellung von folgt, dass die Anwendung des Operators

auf Energieeigenzustände gerade die Zahl , also die Anzahl der Energiequanten ergibt, weswegen er auch Anzahloperator genannt wird.

Eine besonders wichtige Eigenschaft der Kletteroperatoren ist diese:

Statt aus der Schrödingergleichung lässt sich die Wellenfunktion des Grundzustands aus der Gleichung bestimmen, wenn man diese algebraische Gleichung in Ortsdarstellung als Differentialgleichung 1. Ordnung ausdrückt. In der Variable geschrieben, lautet diese Gleichung

und hat die leicht zu findende Lösung .

Die Wellenfunktionen der angeregten Zustände erhält man durch -fache Anwendung des Aufsteigeoperators auf .

Diese algebraische Methode ist eine der Grundlagen der zweiten Quantisierung und ebnete den Weg zur Quantenfeldtheorie. Weiteres hierzu ist unter Erzeugungs- und Vernichtungsoperator zu finden.

Harmonische Schwingung eines Wellenpakets und Kohärenter Zustand mini|120px|Zeitentwicklung (von oben nach unten) eines quasiklassischen Zustandes im harmonischen Potential

Harmonische Schwingung Setzt man ein Wellenpaket von der Form des Grundzustands zur Zeit mit dem Mittelpunkt an eine Stelle , dann ist dessen Wellenfunktion durch

gegeben. Beim Einsetzen in die Schrödingergleichung zeigt sich, dass dieses Wellenpaket in dem Parabelpotential eine harmonische Schwingung mit der Amplitude und der Frequenz ausführt, ohne dass die Form seiner Wahrscheinlichkeitsdichte sich ändert (siehe Abbildung von oben nach unten). Das Wellenpaket verhält sich exakt wie ein klassisches Teilchen mit der Energie , die auch klassisch zu den Anfangsbedingungen (bei ) gehört. Zu jedem Zeitpunkt erfüllen die Erwartungswerte und von Ort und Impuls die Energieerhaltung .

Gibt man dem Wellenpaket einen Anfangsimpuls , dann heißt die Wellenfunktion

und schwingt exakt wie ein klassisches Teilchen mit der Energie , die auch klassisch zu den Anfangsbedingungen gehört. Die Amplitude ist die Auslenkung am Umkehrpunkt beim Impuls Null und ergibt sich aus .

Die Wellenfunktion kann als Linearkombination der (normierten) Energie-Eigenfunktionen dargestellt werden: . Wenn die Anfangsbedingungen in einer dimensionslosen komplexen Zahl zusammengefasst werden:

ergeben sich die Koeffizienten in Abhängigkeit von . Diese Entwicklung folgt aus der Gleichung für die Erzeugende Funktion der Hermite-Polynome, wenn man diese mithilfe der oben angegebenen Formel für die Eigenfunktionen ausdrückt. Für , klassisch also die Ruhelage, verschwinden alle Amplituden bis auf , für kommt richtig der Grundzustand heraus.

Die einzelnen Energieeigenzustände sind demnach mit den Gewichten

vertreten, worin der Parameter die klassische Energie in Einheiten der Energiequanten angibt. Diese Formel gibt eine Poisson-Verteilung wieder, die ihr Maximum bei den Zahlen hat, also denjenigen Quantenzahlen, die der klassischen Energie entsprechen. Die relative Standardabweichung um das Maximum ist und damit bei klassischen Systemen unbeobachtbar klein. Der quantenmechanische Erwartungswert der Energie ist

Das zeitliche Verhalten der Wellenfunktion erhält man, wenn jede Energieeigenfunktion mit ihrer Zeithabhängigkeit eingesetzt wird: . Dadurch ergeben sich ein gemeinsamer Phasenfaktor und veränderte Koeffizienten . Der Zustand zu einer beliebigen Zeit sieht also genau so aus wie das Wellenpaket zur Zeit , nur mit veränderter Anfangsbedingung . Deren Veränderung ist eine Rotation in der komplexen Ebene, also ein harmonisches Oszillieren von Real- und Imaginärteil, d. h von Ort und Impuls.

Historische Anmerkung: Als Erwin Schrödinger im Frühjahr 1926 die Wellenmechanik entwickelte, stieß er schon früh auf dieses Beispiel für quasiklassisches Verhalten eines Wellenpakets. Er knüpfte daran die schließlich vergebliche Hoffnung, Teilchen generell als Wellenpakete ansehen zu können und somit die Quantenmechanik letztlich zu einem Zweig der klassischen Physik zu machen.

Kohärenter Zustand Der Zustand des oszillierenden Wellenpakets wird als kohärenter Zustand oder quasiklassischer Zustand bezeichnet und meist so geschrieben:

Er ist Eigenzustand zum (nicht hermiteschen) Absteigeoperator mit dem (komplexen) Eigenwert :

Die zeitliche Entwicklung des Zustands ist wegen

dadurch gegeben, dass der Parameter durch ersetzt wird und der Zustand mit dem (von unabhängigen, also hier unerheblichen) Phasenfaktor multipliziert wird: . Der Parameter läuft demnach in der komplexen Ebene auf einem Kreis um den Ursprung, so dass sein Realteil und sein Imaginärteil mit der Kreisfrequenz um phasenversetzt harmonisch oszillieren. Der Zustand hat die gleiche Gestalt wie bei , nur mit anderen Anfangsbedingungen , deren zeitliches Verhalten eine harmonische Schwingung beschreibt.

Wichtig sind solche Zustände bei der Beschreibung von kohärenter Strahlung, da man zeigen kann, dass sich das Lichtfeld in der Quantenfeldtheorie auf harmonische Oszillatoren (einer für jede Mode des Feldes) zurückführen lässt (siehe auch kohärente Strahlung).

Experiment mini|350px|Anregung eines quasiklassischen Zustand im Molekül In Experimenten kann in einem zweiatomigen Molekül (z. B. Wasserstoff H2), also einem Quantensystem, ein Zustand erzeugt werden, der diesem quasiklassischen Zustand nahekommt. Oben wurde bereits erläutert, dass man für die Schwingung der Kerne zweiatomiger Moleküle den harmonischen Oszillator als Näherung verwenden kann. Dazu regt man das Molekül mit Hilfe eines intensiven Femtosekundenlasers an.Th. Ergler, A. Rudenko, B. Feuerstein et al.: Time-Resolved Imaging and Manipulation of H2 Fragmentation Intense Laser Fields In: Phys. Rev. Lett. 95, 093001, 2005 In der folgenden Abbildung ist das Geschehen schematisch gezeigt: Zunächst wird mit einem Laserpuls eine tiefliegende schmale Wellenfunktion in einen höheren Energiezustand angehoben. Dort bleibt sie weiter lokalisiert und beginnt sich als quasiklassischer Zustand im Potential zu bewegen, d. h. die beiden Kerne führen (näherungsweise) harmonische Schwingungen gegeneinander aus. Zur Messung wird dann ein zweiter Puls mit einer Quantenenergie eingestrahlt, die bei genügend großem Abstand der Kerne gerade zur Spaltung des Moleküls ausreicht. Die Bruchstücke werden nachgewiesen, aus ihrer kinetischen Energie kann auf den Abstand bei der Spaltung und damit auf die genauere Form des Potentials geschlossen werden.

Klassischer Grenzfall