Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie und der homologischen Algebra ist eine injektive Auflösung eine lange exakte Sequenz aus injektiven Objekten, die mit einem gegebenen Objekt beginnt.
Definition Formal sei eine abelsche Kategorie und ein Objekt aus . Dann heißt eine lange exakte Sequenz der Form
injektive Auflösung von , wenn sämtliche injektiv sind.P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0-8218-1657-8, Definition 2.6
Existenz Ist in der abelschen Kategorie jedes Objekt Unterobjekt eines injektiven Objektes, d. h. gibt es zu jedem Objekt einen Monomorphismus , wobei injektiv ist, so sagt man auch, besitze genügend viele injektive Objekte. Ein wichtiges Beispiel solcher Kategorien ist die Kategorie der Links-Moduln über einem Ring.
Unter diesen Bedingungen gibt es auch zu jedem Objekt eine injektive Auflösung. Zunächst existiert nämlich nach Voraussetzung ein Monomorphismus , dann weiter ein Monomorphismus und dann per Induktion jeweils weiter .
Eigenschaften Ist
eine injektive Auflösung und
eine exakte Sequenz, so lässt sich jeder -Homomorphismus (nicht notwendigerweise eindeutig) zu einem kommutativen Diagramm
ergänzen. Eine wichtige Folgerung aus dieser Eigenschaft ist, dass je zwei injektive Auflösungen eines Objektes vom selben Homotopietyp sind.Peter Hilton, Urs Stammbach: A course in homological algebra, 1. Auflage 1970, ISBN 3-540-90032-2, Kapitel IV, Theorem 4.4 und Satz 4.5
Siehe auch Der duale Begriff ist der der projektiven Auflösung. Eine Anwendung finden injektive Auflösungen in der Berechnung abgeleiteter Funktoren.
Einzelnachweise
Kategorie:Homologische Algebra Kategorie:Kategorientheorie