Die Airy-Funktion bezeichnet eine spezielle Funktion in der Mathematik. Die Funktion und die verwandte Funktion , die ebenfalls Airy-Funktion genannt wird, sind Lösungen der linearen Differentialgleichung
auch bekannt als Airy-Gleichung. Sie beschreibt unter anderem die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen linearen Potentialtopf.
Die Airy-Funktion ist nach dem britischen Astronomen George Biddell Airy benannt, der diese Funktion in seinen Arbeiten in der Optik verwendete (Airy 1838). Die Bezeichnung wurde von Harold Jeffreys eingeführt.
Definition Reelle Airy-Funktion 300px|rechts Für reelle Werte ist die Airy-Funktion als Parameterintegral definiert:
Eine zweite, linear unabhängige Lösung der Differentialgleichung ist die Airy-Funktion zweiter Art :
Komplexe Airy-Funktion Die komplexe Airy-Funktion ist
mit Kontour von mit nach mit .
Eigenschaften Asymptotisches Verhalten Für gegen lassen sich und mit Hilfe der WKB-Näherung approximieren:
Für gegen gelten die Beziehungen:
Nullstellen Die Airy-Funktionen haben nur Nullstellen auf der negativen reellen Achse. Die ungefähre Lage folgt aus dem asymptotischen Verhalten für zu
Spezielle Werte Die Airy-Funktionen und ihre Ableitungen haben für die folgenden Werte:
Hierbei bezeichnet die Gammafunktion. Es folgt, dass die Wronski-Determinante von und gleich ist.
Fourier-Transformierte Direkt aus der Definition der Airy-Funktion (siehe oben) folgt deren Fourier-Transformierte.
Man beachte die hier verwendete symmetrische Variante der Fourier-Transformation.
Weitere Darstellungen Unter Verwendung der hypergeometrischen Funktion
Für lassen sie sich auch mit der modifizierten Bessel-Funktion erster Art so darstellen:
Eine andere unendliche Integraldarstellung für lautet
Es gibt die ReihendarstellungenC. Banderier, P. Flajolet, G. Schaeffer, M. Soria: Planar Maps and Airy Phenomena. In Automata, Languages and Programming. Proceedings of the 27th International Colloquium (ICALP 2000) held at the University of Geneva, Geneva, 9.–15. Juli 2000 (Ed. U. Montanari, J. D. P. Rolim, E. Welzl). Berlin: Springer, S. 388–402, 2000
Komplexe Argumente und sind ganze Funktionen. Sie lassen sich also auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortsetzen.
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Verallgemeinerungen
Definiere
wobei die hypergeometrische Funktion ist. Dann gibt es folgende Verallgemeinerungen des Airy-Integrals
Verwandte Funktionen Airy-Zeta-Funktion Zu der Airy-Funktion lässt sich analog zu den anderen Zeta-Funktionen die Airysche Zeta-Funktion definieren als
wobei die Summe über die reellen (negativen) Nullstellen von geht.
Scorersche Funktionen mini|Funktionsgraphen von und . Manchmal werden auch die beiden weiteren Funktionen und zu den Airy-Funktionen dazugerechnet. Die Integral-Definitionen lautenMilton Abramowitz und Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1954, Seite 447
Sie lassen sich auch durch die Funktionen und darstellen.
Literatur Milton Abramowitz, Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (siehe §10.4). National Bureau of Standards, 1954. George Biddell Airy: On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Band 6, 1838, S. 379–402. Frank Olver: Asymptotics and Special Functions. Chapter 11. Academic Press, New York 1974.
Weblinks
Bessel-Type Functions. Wolfram Funktionenseite. Chapter 9: Airy and related functions. In: Digital Library of Mathematical Functions.
Einzelnachweise
Kategorie:Analytische Funktion Kategorie:George Biddell Airy als Namensgeber