Der Satz von der monotonen Konvergenz, auch Satz von Beppo Levi genannt (nach Beppo Levi), ist ein wichtiger Satz aus der Maß- und Integrationstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er trifft eine Aussage darüber, unter welchen Voraussetzungen sich Integration und Grenzwertbildung vertauschen lassen.
Mathematische Formulierung
Sei ein Maßraum. Ist eine Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen , die μ-fast überall monoton wachsend gegen eine messbare Funktion konvergiert, so gilt
Variante für fallende Folgen Ist eine Funktionenfolge nichtnegativer, messbarer Funktionen mit , die μ-fast überall monoton fallend gegen eine messbare Funktion konvergiert, so gilt ebenso
Beweisidee Dass die rechte Seite kleinergleich der linken ist, folgt aus der Monotonie des Integrals. Für den Beweis maßgeblich ist also die andere Richtung: Diese lässt sich etwa zuerst für einfache Funktionen zeigen und von da aus auf allgemeine messbare Funktionen übertragen.
Wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine nichtnegative, fast sicher monoton wachsende Folge von Zufallsvariablen, dann gilt für ihre Erwartungswerte . Seiten 116 bis 118
Eine analoge Aussage gilt auch für bedingte Erwartungswerte: Ist eine Teil--Algebra und integrierbar, so gilt fast sicher
Anwendung des Satzes auf Funktionenreihen
Sei wieder ein Maßraum. Für jede Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen gilt
Dies folgt durch Anwendung des Satzes auf die Folge der Partialsummen. Da die nichtnegativ sind, ist monoton wachsend.
Siehe auch Satz von der majorisierten Konvergenz Lemma von Fatou
Literatur Elliott H. Lieb, Michael Loss: Analysis (= Graduate Studies in Mathematics. Bd. 14). 2nd Edition. American Mathematical Society, Providence, RI 2001, ISBN 0-8218-2783-9.
Einzelnachweise
Monotonen Konvergenz, Satz von der Kategorie:Maßtheorie Kategorie:Integralrechnung