Die Eulersche Vermutung ist eine nach Leonhard Euler benannte Vermutung der Zahlentheorie und verallgemeinert die Fermatsche Vermutung. Euler stellte sie 1778 in der Akademie der Wissenschaften in St. Petersburg vor. Die Eulersche Vermutung ist mittlerweile widerlegt, während die Fermatsche Vermutung bewiesen wurde.
Vermutung Die Eulersche Vermutung besagt, dass es keine positiven ganzzahligen Lösungen der Gleichung gibt, wenn und ganze Zahlen sind mit . Fermat bewies angeblich die Vermutung für (Fermatsche Vermutung), veröffentlichte aber nur einen Beweis für und . Euler gab für einen Beweis an, siehe Großer Fermatscher Satz, für größere und konnte er weder einen Beweis noch ein Gegenbeispiel finden.
Die Vermutung wurde 1778 in der Akademie der Wissenschaften in St. Petersburg präsentiert aber erst nach Eulers Tod in einem Aufsatz veröffentlicht.
Widerlegungen Fall n = 5 Für den Fall fanden L. J. Lander und T. R. Parkin 1966 ein Gegenbeispiel:L. J. Lander, T. R. Parkin: Counterexample to Eulers’s conjecture on sums of like powers. In: Bull. Amer. Math. Soc. Band 72, 1966, S. 1079.
Fall n = 4 Für fand Noam Elkies 1988 folgendes Gegenbeispiel:Noam Elkies: On . In: Math. Comput. Band 51, 1988, S. 825–835.
Elkies bewies zudem, dass es für unendlich viele Lösungen gibt.
Die kleinste Lösung für lautet .
Diese Minimallösung wurde nach der Publikation der ersten Lösung durch Elkies von Roger Frye gefunden.Ivars Peterson: In: ScienceNews, 2004.
Verwandte Fragestellung Zusammen mit seiner Vermutung äußerte Euler zudem, dass es möglich sein sollte, vier 4. Potenzen zu finden, deren Summe eine 4. Potenz ergibt. Diese Vermutung wurde 1911 durch R. Norrie positiv beantwortet:
Für diese allgemeine Form
wurde 2008 von Lee W. Jacobi und Daniel J. Madden gezeigt, dass sie unendlich viele positive ganzzahlige Lösungen hat. Es wurde auch eine besonders ästhetische Lösung der Form
in ganzen Zahlen gefunden:American Mathematical Monthly. März 2008.
Diese Gleichung nennt man auch Jacobi-Madden-Gleichung.
Literatur Leonhard Euler: Resolutio formulae Diophanteae ab(maa + nbb) = cd(mcc + ndd) per numeros rationales. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 13 (1796), S. 45–63, . Georg Ehlers: Solution of the Diophantine equation ab(maa+nbb)=cd(mcc+ndd) using rational numbers. Euleriana: 3(2), S. 81–123 (2023), DOI:10.56031/2693-9908.1041. Neuausgabe und englische Übersetzung von Eulers Originalarbeit. Richard K. Guy: Unsolved problems in number theory. Springer, New York 1994, ISBN 0-387-94289-0.
Weblinks Tito Piezas III: A Collection of Algebraic Identities. Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers. EulerNet Jaroslaw Wroblewski: Equal Sums of Like Powers.
Ivars Peterson: Euler’s Sums of Powers. In: ScienceNews, 2004, Seite nicht mehr abrufbar, Archivlink abgerufen am 1. März 2022
Einzelnachweise
Kategorie:Zahlentheorie Kategorie:Vermutung (Mathematik) Kategorie:Leonhard Euler als Namensgeber