mini|Beispiel eines archimedischen Körpers: der Hexaederstumpf Die archimedischen Körper sind eine Klasse von regelmäßigen geometrischen Körpern. Sie sind konvexe Polyeder (Vielflächner) mit folgenden Eigenschaften: ihre Seitenflächen sind regelmäßige Polygone (Vielecke), alle Ecken des Körpers verhalten sich zueinander völlig gleich (Uniformität der Ecken), und sie sind weder platonische Körper noch Prismen oder Antiprismen.
Je nach Zählweise gibt es 13 oder 15 solcher Körper. Sie sind nach dem griechischen Mathematiker Archimedes benannt, der sie alle vermutlich bereits im dritten Jahrhundert vor Christus entdeckte. Die Schrift des Archimedes ist nicht erhalten, es ist nur eine Zusammenfassung des alexandrinischen Mathematikers Pappos (4. Jahrhundert nach Christus) überliefert.
Definition Die exakte Definition der Uniformität der Ecken bereitet einige Mühe und ist nicht immer einheitlich., Nachgedruckt in
Zunächst betrachtet man alle konvexen Polyeder, deren Seitenflächen regelmäßige Polygone sind und die die globale Uniformität der Ecken erfüllen: Die Symmetriegruppe des Polyeders operiert transitiv auf seinen Ecken.
Das bedeutet anschaulich: Zu jedem Paar von Ecken des Polyeders ist es möglich, das Polyeder so zu drehen und zu spiegeln, dass die Ecke dort zu liegen kommt, wo zuvor die Ecke war, und die beiden Positionen des Polyeders vor und nach der Drehung nicht zu unterscheiden sind.
Es gibt mehrere einfache Klassen von konvexen Polyedern, die alle diese Eigenschaften erfüllen: Die fünf platonischen Körper. Alle Prismen, die aus genau zwei kongruenten regelmäßigen n-Ecken und n Quadraten bestehen. Zu jeder natürlichen Zahl existiert ein solches Prisma. An einer Ecke treffen stets ein n-Eck und zwei Quadrate zusammen. Im Fall ergibt sich ein Würfel, also ein platonischer Körper. Alle Antiprismen, die aus genau zwei kongruenten n-Ecken und 2n gleichseitigen Dreiecken bestehen. Zu jeder natürlichen Zahl existiert ein solches Antiprisma. An einer Ecke treffen stets ein n-Eck und drei Dreiecke zusammen. Im Fall ergibt sich ein Oktaeder, also ein platonischer Körper.
Die archimedischen Körper sind nun definiert als alle konvexen Polyeder mit regelmäßigen Seitenflächen, die die globale Uniformität der Ecken erfüllen und nicht in eine dieser drei genannten Klassen fallen.
Eigenschaften Unterscheidet man nicht zwischen ähnlichen Körpern, so existieren genau 13 archimedische Körper. Von zweien dieser Körper – dem abgeschrägten Hexaeder und dem abgeschrägten Dodekaeder – existieren je zwei spiegelbildlich entgegengesetzte Varianten, welche nicht durch Drehung ineinander übergeführt werden können. Diese werden gelegentlich doppelt gezählt, so dass sich nach dieser Zählweise dann insgesamt 15 archimedische Körper ergeben. Weil die Seitenflächen regelmäßige Polygone sind, gilt: Alle Kanten eines archimedischen Körpers haben die gleiche Länge. Aus der globalen Uniformität der Ecken folgt die lokale Uniformität der Ecken: An jeder Ecke treffen im Uhrzeigersinn oder im Gegenuhrzeigersinn abgelesen dieselben Typen von Polygonen zusammen. Aus der lokalen Uniformität der Ecken folgt jedoch im Allgemeinen nicht die globale Uniformität. Ein Gegenbeispiel liefert das Pseudo-Rhombenkuboktaeder. Die Flächenfolge an einer Ecke charakterisiert jeden archimedischen (sowie auch platonischen) Körper eindeutig. Die zu den archimedischen Körpern dualen Polyeder sind die catalanischen Körper. Die charakteristische Eigenschaft dieser Körper ist die Uniformität der Flächen, welche sich aus der Uniformität der Ecken der archimedischen Körper ergibt. Jeder archimedische Körper kann durch Abstumpfen aus einem platonischen Körper erzeugt werden. Bei vielen archimedischen Körpern deutet auch der Name darauf hin. Mit Abstumpfen eines Körpers ist hier gemeint, dass dem Körper beliebige Stücke weggeschnitten werden, dabei aber die Flächen des Körpers – in aller Regel verkleinert – als Flächen des abgestumpften Körpers erhalten bleiben. Wenn ein archimedischer Körper durch Abstumpfen aus einem platonischen Körper erzeugt werden kann, dann kann er auch aus dem dazu dualen platonischen Körper durch Abstumpfen erzeugt werden. Jeder archimedische Körper besitzt eine Umkugel (eine Kugel durch die Ecken) und eine Kantenkugel (eine Kugel durch die Mittelpunkte der Kanten). Dagegen existiert keine Inkugel, da die Mittelpunkte verschiedenartiger Flächen nicht den gleichen Abstand vom Mittelpunkt des Körpers haben.
Ableitungen aus den platonischen Körpern Die meisten archimedischen Körper lassen sich auf anschauliche Weise aus den platonischen Körpern ableiten. Die einfachste Operation ist das Abstumpfen, die Rektifikation, das Doppelabstumpfen und die Doppelrektifikation. Dabei handelt es sich um verschieden starke Varianten des Abstumpfens. Die Abstumpfungsebenen (Schnittebenen) werden dabei konzentrisch so weit in Richtung Mittelpunkt des vorliegenden platonischen Körpers geschoben, bis sich Seitenflächen des platonischen Körpers oder diese Schnittebenen in einem Punkt treffen oder Schnittkanten dieser Seitenflächen oder Schnittebenen dieselbe Länge haben wie die verbleibenden Restkanten des ursprünglichen platonischen Körpers. Etwas anspruchsvoller sind die Kantellation, das Abschrägen und die Kantitrunkation. Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die entstehenden Körper: SymmetriegruppeTetraedergruppe rahmenlos|120x120pxOktaedergruppe rahmenlos|120x120pxIkosaedergruppe rahmenlos|120x120px OperationTetraederHexaeder Oktaeder Dodekaeder IkosaederAbstumpfenTetraederstumpfHexaederstumpf Oktaederstumpf Dodekaederstumpf IkosaederstumpfRektifikationOktaederKuboktaederIkosidodekaederDoppelabstumpfenTetraederstumpfOktaederstumpfHexaederstumpfIkosaederstumpfDodekaederstumpfDoppelrektifikationTetraederOktaederHexaederIkosaederDodekaederKantellationrahmenlos|120x120px Kuboktaederrahmenlos|120x120px Rhombenkuboktaederrahmenlos|120x120px RhombenikosidodekaederAbschrägenrahmenlos|120x120px Ikosaederrahmenlos|120x120px Abgeschrägtes Hexaederrahmenlos|120x120px Abgeschrägtes DodekaederKantitrunkationOktaederstumpfGroßes RhombenkuboktaederGroßes Rhombenikosidodekaeder Im Fall des Tetraeders sind nicht alle entstehenden Polyeder archimedische Körper. Durch Doppelabstumpfen entsteht das Oktaeder und durch Abschrägen entsteht das Ikosaeder.
Die einzelnen archimedischen Körper Name Bilder Flächen Kanten Ecken Flächenfolgean den Ecken Symmetrie-gruppeDualer Körper Tetraederstumpf 120px 120px 8 4 Dreiecke4 Sechsecke 18 12 3, 6, 690px TdTriakistetraeder Kuboktaeder 120px 120px 14 8 Dreiecke6 Quadrate 24 12 3, 4, 3, 490px OhRhombendodekaeder Hexaederstumpf 120px 120px 14 8 Dreiecke6 Achtecke 36 24 3, 8, 890px OhTriakisoktaeder Oktaederstumpf 120px 120px 14 6 Quadrate8 Sechsecke 36 24 4, 6, 690px OhTetrakishexaederRhombenkuboktaeder 120px 120px 26 8 Dreiecke18 Quadrate 48 24 3, 4, 4, 490px OhDeltoidalikositetraeder Großes Rhombenkuboktaeder oder Kuboktaederstumpf 120px 120px 26 12 Quadrate8 Sechsecke6 Achtecke 72 48 4, 6, 890px OhHexakisoktaeder Abgeschrägtes Hexaederoder Cubus simus 120px 120px 38 32 Dreiecke6 Quadrate 60 24 3, 3, 3, 3, 490px OPentagonikositetraeder Ikosidodekaeder 120px 120px 32 20 Dreiecke12 Fünfecke 60 30 3, 5, 3, 590px IhRhombentriakontaeder Dodekaederstumpf 120px 120px 32 20 Dreiecke12 Zehnecke 90 60 3, 10, 1090px IhTriakisikosaeder Ikosaederstumpf oder Fußballkörper 120px 120px 32 12 Fünfecke20 Sechsecke 90 60 5, 6, 690px IhPentakisdodekaederRhombenikosidodekaeder 120px 120px 62 20 Dreiecke30 Quadrate12 Fünfecke 120 60 3, 4, 5, 490px IhDeltoidalhexakontaeder Großes Rhombenikosidodekaederoder Ikosidodekaederstumpf 120px 120px 62 30 Quadrate20 Sechsecke12 Zehnecke 180 120 4, 6, 1090px IhHexakisikosaeder Abgeschrägtes Dodekaederoder Dodecaedron simum 120px 120px 92 80 Dreiecke12 Fünfecke 150 60 3, 3, 3, 3, 590px IPentagonhexakontaeder
Raumfüllungen mit archimedischen Körpern Der dreidimensionale euklidische Raum kann lückenlos mit platonischen Körpern oder archimedischen Körpern gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden. Solche dreidimensionalen Parkettierungen werden Raumfüllung genannt. Die folgenden Raumfüllungen enthalten einen oder mehrere Typen von archimedischen Körpern: Der dreidimensionale euklidische Raum kann mit Oktaederstümpfen lückenlos parkettiert werden. Das ist der einzige archimedischen Körper, mit dem das möglich ist.
Das Pseudo-Rhombenkuboktaeder
mini|Drahtgittermodell eines Pseudo-Rhombenkuboktaeders Lange Zeit benutzte man für die Definition der archimedischen Körper nicht die globale, sondern die anschaulichere lokale Uniformität der Ecken. Erst im Jahr 1930 stellte der britische Mathematiker J. C. P. Miller fest, dass ein konvexes Polyeder mit regelmäßigen Seitenflächen existiert, welches die lokale Uniformität der Ecken erfüllt, aber bisher nicht als archimedischer Körper erkannt worden war. Dieses Polyeder entsteht, wenn man beim Rhombenkuboktaeder eine Kappe um 45 Grad verdreht. Es wird als Pseudo-Rhombenkuboktaeder, als Miller’s solid oder als Johnson-Körper bezeichnet.
In jeder Ecke dieses Körpers stoßen wie beim Rhombenkuboktaeder drei Quadrate und ein Dreieck zusammen, die lokale Uniformität der Ecken ist also gegeben. Im Gegensatz zu den klassischen archimedischen Körpern können trotzdem zwei verschiedene Typen von Ecken unterschieden werden. Dazu ist es aber notwendig, nicht nur die direkten Nachbarflächen der Ecke zu betrachten, sondern zur Unterscheidung auch die weiter entfernten Nachbarflächen der Ecke mit einzubeziehen.
Gelegentlich klassifiziert man das Pseudo-Rhombenkuboktaeder als 14. archimedischen Körper. In der Regel herrscht aber die Meinung vor, dass es aufgrund der unterschiedlichen Typen von Ecken nicht als archimedischer Körper angesehen werden sollte. Die Forderung der starken Uniformität der Ecken sorgt dann dafür, dass das Pseudo-Rhombenkuboktaeder aus der Definition ausgeschlossen wird.
Geschichtlicher Hintergrund
Die archimedischen Körper sind benannt nach dem antiken griechischen Mathematiker Archimedes, der sie in einem heute nicht mehr erhaltenen Werk diskutierte. Obwohl sie ursprünglich nicht Archimedes zugeschrieben wurden, erwähnte Pappus von Alexandria im fünften Buch seiner Mathematischen Sammlungen (Synagoge, lat. Mathematicae collectiones), dass Archimedes 13 Polyeder auflistete, jeweils mit kurzen Angaben zur Zahl der Flächen verschiedener Art.
Während der Renaissance schätzten Künstler und Mathematiker reine Formen von hoher Symmetrie. Einige der archimedischen Körper erschienen in dem Werk De quinque corporibus regularibus von Piero della Francesca, der die Schriften von Archimedes studierte und zu kopieren suchte und diese zitierte. Jedoch wurden die Körper nicht Archimedes zugeschrieben; sie erschienen eher als unabhängige Neuentdeckung. Des Weiteren kamen die archimedischen Körper in Perspectiva Corporum Regularium von Wenzel Jamnitzer vor, außerdem in Summa de arithmetica und Divina proportione von Luca Pacioli, mit Zeichnungen von Leonardo da Vinci. Netze archimedischer Körper erschienen in Albrecht Dürers Underweysung der Messung, kopiert aus Paciolis Werk. Etwa um 1620 vervollständigte Johannes Kepler in seinen Harmonices Mundi die Wiederentdeckung der 13 Polyeder. Er definierte dabei auch Prismen, Antiprismen und die nicht-konvexen Körper, die heute als Kepler-Poinsot-Körper bekannt sind.
Es ist möglich, dass Kepler auch das Pseudo-Rhombenkuboktaeder entdeckte. Kepler spricht an einer Stelle von 14 archimedischen Körpern, während die veröffentlichte Liste nur 13 solche Polyeder umfasst. Die erste eindeutige Aussage über die Existenz dieses Körpers stammt von Duncan Sommerville aus dem Jahr 1905. Dieser Körper tauchte auf, als einige Mathematiker das Rhombenkuboktaeder auf falsche Weise konstruierten, nämlich durch Hinzufügung zweier Quadratkuppeln zu einem Achtecksprisma, wobei diese Kuppeln um gegeneinander verdreht sind.