mini|Projektiver Satz von Desargues Die projektive Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. Sie beruht auf der Projektion von Punkten, Geraden, Ebenen etc. Hervor ging die projektive Geometrie in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts aus der perspektivischen Darstellung dreidimensionaler Gegenstände in der zweidimensionalen Ebene. Im Gegensatz zur „gewöhnlichen“ euklidischen Geometrie gibt es in der projektiven Geometrie keine Parallelen. Wesentliche Beiträge leisteten Jean-Victor Poncelet 1822 und Karl Georg Christian von Staudt 1847.Karl-Eugen Kurrer: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium. Ernst & Sohn, Berlin, ISBN 978-3-433-03229-9, S. 452.
Die projektive Geometrie befasst sich, wie die affine Geometrie, mit Punkten, Geraden, Ebenen, Kurven und Flächen; allerdings ohne die Parallelität von Geraden. Es gibt also keine Parallelprojektionen, sondern nur Zentralprojektionen. Die zu untersuchenden Objekte liegen jetzt in einer projektiven Ebene oder einem projektiven Raum. Meistens befasst man sich mit Objekten in einem projektiven Raum über den reellen Zahlen oder den komplexen Zahlen , das heißt, die Koordinaten der Punkte sind reelle bzw. komplexe Zahlen. Nur in der axiomatischen projektiven Geometrie (s. u.) treten Koordinaten aus allgemeineren Strukturen (Körper, Schiefkörper, Ternärkörper, …) auf. Projektive Ebenen/Räume, in denen der Satz von Desargues gilt, lassen sich mit Hilfe von Vektorräumen über Schiefkörper noch gut beschreiben. Dies zeigt die große Bedeutung des Satzes von Desargues. Allerdings gilt er in mindestens 3-dimensionalen projektiven Räumen immer.
Die Bedeutung der projektiven Geometrie liegt auch darin, dass sich die Maßgeometrien, insbesondere die euklidische Geometrie und die nichteuklidischen Geometrien durch Spezialisierung aus ihr heraus entwickeln lassen. Sie kann daher als eine Art Urgeometrie angesehen werden.
Der Einfachheit halber werden hier bis zum Abschnitt über axiomatische projektive Geometrie immer reelle Koordinaten vorausgesetzt.
Motivation mini|Zentralprojektion paralleler Geraden Eine Parallelprojektion einer Ebene auf eine andere erhält die Parallelität der Geraden. Bei einer Zentralprojektion (siehe Bild) ist dies i. A. nicht mehr der Fall. Im Bild werden die zwei grünen parallelen Geraden der horizontalen Ebene durch die Zentralprojektion mit Zentrum auf zwei sich im Punkt schneidende (rote) Geraden der senkrechten Ebene abgebildet. Der Punkt besitzt allerdings kein Urbild. Man nennt ihn den Fluchtpunkt der grünen Parallelenschar. Andererseits besitzt der Punkt (in der zu parallelen Ebene ) der Gerade kein Bild. Man nennt den Verschwindungspunkt der Gerade . Eine Zentralprojektion ist also keine Bijektion (1-1-Abbildung) der Ebene auf die Ebene . Der Ausweg aus diesem Dilemma: Man fügt in jeder Ebene jeder Parallelschar einen weiteren Punkt hinzu, so dass sich parallele Geraden schneiden. Diese neuen Punkte nennt man Fernpunkte und die Menge der Fernpunkte bildet die Ferngerade der jeweiligen Ebene. Im Bild wird dann der Fernpunkt der Gerade auf den Fluchtpunkt abgebildet. Der Verschwindungspunkt wird auf den Fernpunkt der (roten) Gerade abgebildet. Durch das Hinzufügen der Fernpunkte zu einer Ebene entsteht eine neue Inzidenzstruktur mit den typischen Eigenschaften Je zwei Punkte haben genau eine Verbindungsgerade und Je zwei Geraden haben genau einen Schnittpunkt. Man nennt diese neue Struktur die reelle projektive Ebene. Diese Art, eine affine Ebene zu erweitern, nennt man projektiv abschließen.
Dualitätsprinzip Vertauscht man in den Inzidenzeigenschaften (1), (2) (s. o.) die Begriffe Gerade und Punkt, sowie Schneiden und Verbinden, so werden lediglich die Aussagen (1) und (2) vertauscht. Hat man also eine Aussage, die nur die Begriffe Gerade, Punkt, schneiden und verbinden verwendet, so gilt auch ihre duale Aussage. Zum Beispiel erhält man durch Dualisierung des Satzes von Pascal den Satz von Brianchon. Der Satz von Desargues ist gleich seiner dualen Aussage. Aber der duale Satz von Pappus ist eine weitere Aussage über projektive Ebenen.
Für affine Ebenen gilt das Dualitätsprinzip nicht.
hochkant=1.5|mini|Inhomogene Koordinaten einer reellen projektiven Ebene
Inhomogene Koordinaten Um einem Punkt einer reellen projektiven Ebene Koordinaten zuzuordnen, beschreibt man einen endlichen Punkt (keinen Fernpunkt) in gewohnter Weise durch . Für den Fernpunkt der Gerade bietet sich die Steigung (einschließlich ) an (siehe Bild). Da ein Punkt entweder durch zwei Koordinaten oder durch eine Koordinate (Fernpunkt) beschrieben wird, nennt man diese Koordinaten inhomogene Koordinaten. Gegenüber den (im nächsten Absatz eingeführten) homogenen Koordinaten haben inhomogene Koordinaten den großen Vorteil: Sie sind eindeutig und man kann im endlichen Bereich in gewohnter Weise rechnen.
Homogene Koordinaten hochkant=1.7|mini|Beziehung zwischen inhomogenen und homogenen Koordinaten Dass die reelle projektive Ebene in ihrer inhomogenen Beschreibung nur formal eine inhomogene Struktur ist, zeigt ihre Beschreibung mit homogenen Koordinaten. Hierzu definiert man im jede Ursprungsgerade ist ein (projektiver) Punkt und jede Ursprungsebene ist eine (projektive) Gerade. Ein Punkt inzidiert mit einer Gerade, wenn die dem Punkt entsprechende Ursprungsgerade in der der Geraden entsprechenden Ursprungsebene liegt. Man kann zeigen, dass die so definierte Inzidenzstruktur geometrisch zu dem oben definierten Modell der reellen projektiven Ebene isomorph, d. h. strukturgleich ist. Das Bild zeigt die Einbettung der endlichen Punkte des inhomogenen Modells der reellen projektiven Ebene in den als Ebene mit der Gleichung . Die Rolle der Ferngerade übernimmt die Ebene . Jede Ursprungsgerade dieser Ebene ist ein Fernpunkt. Das Bild zeigt die Zuordnung der Fernpunkte beider Modelle. Da ein vom Nullpunkt verschiedener Punkt eine Ursprungsgerade und damit einen Punkt der projektiven Ebene beschreibt, nennt man seine homogenen Koordinaten und bezeichnet den (projektiven) Punkt mit . Da eine Ursprungsgerade aber durch jeden beliebigen vom Nullpunkt verschiedenen Punkt auf ihr beschrieben werden kann, gilt . D. h., homogene Koordinaten beschreiben die Punkte der reellen projektiven Ebene nicht eindeutig. Dies ist ein Nachteil gegenüber inhomogenen Koordinaten. Eine Gerade (Ursprungsebene) wird im homogenen Modell durch eine Gleichung beschrieben.
Die Koordinaten endlicher Punkte (keine Fernpunkte) lassen sich umrechnen durch bzw.
Der große Vorteil der homogenen Koordinaten ist Jede inzidenzerhaltende Abbildung (Kollineation) wird durch eine lineare Abbildung (Matrix) beschrieben. (Eine affine Abbildung ist eine Kombination aus einer linearen Abbildung und einer Verschiebung.)
Bettet man die x-y-Ebene so ein, dass sie im gleich der Ebene ist, so wird die Ursprungsebene zur Ferngerade. In diesem Fall sind die homogenen Koordinaten die baryzentrischen Koordinaten bezüglich des Dreiecks .
n-dimensionaler projektiver Raum
Die Beschreibung der reellen projektiven Ebene mit homogenen Koordinaten zeigt, dass man einen n-dimensionalen projektiven Raum analog im definieren kann: Die Punkte sind die Ursprungsgeraden des Die Geraden sind die Ursprungsebenen.
Für erhält man die projektive Gerade. Sie ist als Inzidenzstruktur zwar uninteressant, aber die auch hier definierte Gruppe der projektiven Permutationen ist als projektive lineare Gruppe interessant. Sie operiert im homogenen Modell auf den Ursprungsgeraden des als Matrizengruppe oder im inhomogenen Modell als gebrochen lineare Abbildungen . Eine wesentliche Eigenschaft ist: Die Gruppe operiert scharf 3-fach-transitiv, d. h., zu je zwei Punktetripeln gibt es genau eine Abbildung, die das eine auf das andere abbildet.
Kollineation, Zentralkollineation, Projektivität Kollineation Eine Kollineation einer projektiven Ebene ist eine bijektive Abbildung der Punktmenge auf sich, die kollineare Punkte auf kollineare Punkte abbildet. permutiert sowohl die Menge der Punkte als auch die Menge der Geraden. 250px|mini|Zentralkollineation: Für jeden Punkt sind kollinear Zentralkollineation Wichtige Kollineationen einer projektiven Ebene sind die Zentralkollineationen (auch Perspektivitäten genannt). Eine Zentralkollineation lässt einen Punkt, das Zentrum, und alle Geraden durch diesen Punkt fest. Man kann nachweisen, dass es dann eine Gerade, die Achse, gibt, deren Punkte alle fix bleiben. Es kann allerdings vorkommen, dass das Zentrum auch auf der Achse liegt. In diesem Fall nennt man die Zentralkollineation Elation, andernfalls Homologie. Ist die Achse die Ferngerade, so ist eine Zentralprojektion im endlichen (affinen) Teil eine Punktstreckung oder eine Translation (Verschiebung). Projektivität Eine Hintereinanderausführung von mehreren Zentralkollineationen nennt man projektive Kollineation oder Projektivität.
Für die reelle projektive Ebene gilt (PR): Jede Kollineation ist eine projektive Kollineation und kann in homogenen Koordinaten durch eine lineare Abbildung beschrieben werden.
Beispiel Die Translation wird in homogenen Koordinaten (s. o.) durch
und damit als lineare Abbildung mit der Matrix beschrieben.
Mehr Beispiele findet man in dem Artikel Homogene Koordinaten.
Die von den 3×3-Matrizen erzeugte projektive Kollineationsgruppe der reellen projektiven Ebene ist die projektive lineare Gruppe
Die Eigenschaft (PK) ist nicht allgemeingültig. So gibt es zum Beispiel in der komplexen projektiven Ebene Kollineationen, die nur als semilineare Abbildungen dargestellt werden können. Z. B.:
Kollineation zwischen Inzidenzstrukturen Eine projektive Ebene/Raum kann meistens mit wenigstens zwei Modellen (inhomogen, homogen) beschrieben werden. Um nachzuweisen, dass zwei Inzidenzstrukturen dieselbe Geometrie beschreiben, ist es nötig, eine bijektive Abbildung von auf anzugeben, die kollineare Punkte auf kollineare Punkte abbildet. D. h. man muss den Begriff Kollineation entsprechend erweitern. Im Allgemeinen ist eine Kollineation eine Abbildung von einer Inzidenzstruktur auf eine zweite, die Geraden auf Geraden abbildet.
Dualität, Polarität Eine bijektive Abbildung der Punkte einer projektiven Ebene auf die Menge der Geraden , die kollineare Punkte auf kopunktale Geraden abbildet und umgekehrt, heißt Dualität oder in älterer Literatur KorrelationR. Baer: Linear Algebra and Projective Geometry, Academic Press, 1952, ISBN 0-12-072250-X. oder Reziprozität.
Eine Dualität ist also eine Kollineation einer projektiven Ebene auf ihre duale projektive Ebene.
Beispiel: Die Abbildung der reellen projektiven Ebene, die einem Punkt (in homogenen Koordinaten) die Ebene mit der Gleichung zuordnet und umgekehrt, ist eine Dualität.
Besondere Dualitäten sind Polaritäten:
Eine Dualität heißt Polarität, wenn aus der Inzidenz von mit der Gerade folgt, dass auf liegt. heißt Polare von und Pol von . Eine Polarität ist immer involutorisch, d. h. Identität.
Die Dualität im obigen Beispiel ist eine Polarität. Gibt es bei einer Polarität Punkte, die auf ihrer Polaren liegen, so nennt man die Polarität hyperbolisch (z. B. Pol-Polare-Beziehung zu einem nicht ausgearteten Kegelschnitt), im anderen Fall elliptisch. Das obige Beispiel einer Polarität ist elliptisch. Wesentlich hierfür ist allerdings, dass die zugrunde liegende projektive Ebene die reelle Ebene ist! Sind die Koordinaten komplexe Zahlen, ist die Polarität hyperbolisch, denn in diesem Fall hat die Gleichung nichttriviale Lösungen: z. B. liegt der Punkt auf seiner Polaren .
Doppelverhältnis Bei projektiven Abbildungen in einem projektiven Raum ist das Teilverhältnis nicht mehr invariant (z. B.: Der Mittelpunkt einer Strecke geht nicht mehr in den Mittelpunkt der Bildstrecke über). Das Analogon zum Teilverhältnis ist in der projektiven Geometrie das Doppelverhältnis (Verhältnis zweier Teilverhältnisse).
Im ist das Teilverhältnis , in dem ein Punkt eine Strecke teilt, die durch die Beziehung