Fünfeck

rahmenlos|rechts|hochkant=1.3|Regelmäßiges Fünfeck Ein Fünfeck, auch Pentagon (von ), ist eine geometrische Figur. Es gehört zur Gruppe der Vielecke (Polygone) und ist durch fünf Punkte definiert. Sind alle fünf Seiten gleich lang, spricht man von einem gleichseitigen Fünfeck. Sind darüber hinaus alle Winkel an den fünf Ecken gleich groß, dann wird das Fünfeck regulär oder regelmäßig genannt.

Einteilung Fünfecke können, wie alle Polygone, welche keine Dreiecke sind, unterteilt werden in: überschlagenes Fünfeck: Mindestens zwei Seiten schneiden einander. konkaves Fünfeck: Mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°. Ein Fünfeck kann maximal zwei derartige Winkel haben. konvexes Fünfeck: Alle Innenwinkel sind kleiner als 180°. Sehnenfünfeck: Alle Ecken liegen auf einem gemeinsamen Umkreis. regelmäßiges Fünfeck: Alle Seiten sind gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß. Regelmäßige Fünfecke können konvex oder überschlagen sein. regelmäßiges überschlagenes Fünfeck: Es ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünf Eckpunkte jedes Mal einer oder zwei übersprungen werden und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen , wobei die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder -te Punkt verbunden wird.

Es gibt nur einen regelmäßigen Fünfstrahlstern, das Pentagramm. Da es mit einem geschlossenen Polygonzug gezeichnet werden kann, ist es auch ein sogenanntes Sternpolygon mit dem Schläfli-Symbol .

Allgemeines Fünfeck Winkel Die Summe der Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks beträgt 540°, also 3 mal 180°, und ergibt sich aus einer allgemeinen Formel für Polygone, in der für die Variable die Anzahl der Eckpunkte des Polygons eingesetzt werden muss (in diesem Fall

Fläche Ein ebenes Fünfeck besitzt einen eindeutig bestimmbaren Flächeninhalt, welcher sich stets durch Zerlegen in Dreiecke berechnen lässt.

Regelmäßiges Fünfeck Formeln Mathematische Formeln zum regelmäßigen FünfeckInnenwinkel 300px|rahmenlosZentriwinkelHöheSeitenlängeUmkreisradiusInkreisradiusLänge der DiagonalenFlächeninhalt

Innenwinkel mini|hochkant=1.3|Skizze zur Berechnung des Innenwinkels und des Zentriwinkels

Der Winkel, den zwei benachbarte Seiten im ebenen, regelmäßigen Fünfeck miteinander einschließen, beträgt (wiederum nach einer allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone):

oder auch

Zentriwinkel Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel wird von zwei benachbarten Umkreisradien eingeschlossen. In der allgemeinen Formel ist für die Variable die Zahl einzusetzen.

oder auch

Seitenlänge und Umkreisradius mini|hochkant=1.3|Skizze zur Berechnung der Seitenlänge , des Umkreises sowie des Inkreisradius Das Fünfeck wird in 5 kongruente Dreiecke zerlegt. Nimmt man die Hälfte eines solchen Dreiecks, also ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten , Umkreisradius , Inkreisradius sowie den halben Zentriwinkel , so gilt , daraus folgt

. Löst man nach auf, so erhält man . Verwendet man für die Sinus-Werte deren Quadratwurzeln, so gilt auch . .

Inkreisradius Auch der Inkreisradius lässt sich mithilfe eines halbierten Bestimmungsdreiecks, sprich mit dem rechtwinkligen Dreieck , ermitteln. Es ergibt sich , daraus folgt . Wegen

und der Quadratwurzel des Sinuswertes , eingesetzt in , gilt auch .

Länge der Diagonalen mini|hochkant=1.3|Skizze zur Berechnung der Diagonalen und des Flächeninhalts Im nebenstehenden Bild ist eine von fünf möglichen Diagonalen eingezeichnet. Die Diagonale lässt sich aus dem Hilfsdreieck bestimmen. Es ergibt sich , daraus folgt . Verwendet man die Quadratwurzel des Sinus-Wertes

so gilt auch .

Flächeninhalt Der Flächeninhalt A eines regelmäßigen Fünfecks der Seitenlänge ist das Fünffache des Flächeninhalts eines von seinem Mittelpunkt und zwei seiner Eckpunkte aufgespannten Dreiecks .

Verwendet man für den Tangens-Wert dessen Quadratwurzel (analog Inkreisradius) , so gilt auch .

Allgemein mit dem Umkreisradius ru

oder auch

Der Goldene Schnitt im Fünfeck Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite des Fünfecks befindet sich im goldenen Verhältnis zu seinen Diagonalen. Die Diagonalen untereinander teilen sich wiederum im goldenen Verhältnis, d. h. verhält sich zu wie zu .C. Stanley Ogilvy: Unterhaltsame Geometrie. Kapitel 9: Der Goldene Schnitt – 9.1 Das Pentagramm. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 1984, ISBN 3-528-28314-9, S. 76–77, doi:10.1007/978-3-663-00104-1_10.

Der Beweis nutzt die Ähnlichkeit gewählter Dreiecke.

mini|210px|ohne|Grundfigur Fünfeck und Pentagramm mit mehreren Teilungen der Diagonalen im Goldenen Schnittmini|222px|ohne|Jede Seite des Fünfecks befindet sich im goldenen Verhältnis zu jeder ihrer beiden benachbarten Diagonalenmini|221px|ohne|Die Diagonalen teilen sich untereinander im goldenen Verhältnis  

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis Konstruktion 1 mini|hochkant=1.3|Konstruktion eines Fünfecks in einem umschließenden Kreis Für das regelmäßige Fünfeck existiert eine mathematisch exakte Konstruktion zur Bestimmung der Seitenlänge (siehe Abbildung). Zeichne einen Kreis (späterer Umkreis, blau) mit Radius r um den Mittelpunkt M. Zeichne zwei zueinander senkrechte Durchmesser (rot) ein. Halbiere einen Radius (magenta, Punkt D). Zeichne einen Kreis (grün) mit dem Radius || um Punkt D. Er schneidet die Gerade AM im Punkt F. Die Strecke ist die Länge der Seite. Zum Abtragen auf dem Umkreis einen weiteren Kreisbogen (orange) mit Radius || um E zeichnen. Er schneidet den ersten Kreis (blau) in G. Vorgang entsprechend wiederholen.

Berechnung zur Konstruktion:

Umformen des Faktors:

Das entspricht genau dem Faktor in der obigen Formel für die Seitenlänge.

Die Seiten des nicht eingezeichneten Dreiecks MFE entsprechen exakt den Seitenlängen des regelmäßigen Sechsecks (), des regelmäßigen Fünfecks () und des regelmäßigen Zehnecks () mit dem gegebenen Umkreisradius r.

Konstruktion 2 mini|hochkant=1.3|Regelmäßiges Fünfeck bei vorgegebenem Umkreis, nach EuklidDie Dreiecke FGD und ACD sind Goldene Dreiecke erster Art. Die im Folgenden beschriebene Konstruktion (Bild) vom regelmäßigen Fünfeck stammt von Euklid (3. Jh. v. Chr.). Sie benötigt vergleichsweise etwas mehr Aufwand, denn Euklids Ansatz dazu war das Goldene Dreieck erster Art. Zur leichteren Nachvollziehbarkeit wurden in der Darstellung die gleichen Bezeichnungen der Punkte, wie die in den Bildern der Stoicheia (Euklids Elemente) verwendet. Zeichne einen Kreis (den späteren Umkreis) mit beliebigem Radius um den Mittelpunkt F. Trage den Durchmesser || ein. Nun folgt die Konstruktion des Goldenen Dreiecks, platzsparend mit der Methode Innere Teilung nach Heron von Alexandria. Halbiere den Radius || im Punkt I. Errichte eine Senkrechte zum Radius || im Punkt G und bestimme darauf den Punkt J mit || = ||. Verbinde den Punkt F mit J. Ziehe zuerst den Bogen JGK und anschließend den Bogen FLK, somit teilt L den Radius || im Verhältnis des Goldenen Schnitts. Bestimme den Punkt D mit || = ||, das Goldene Dreieck FGD ist somit bestimmt. Bestimme den Punkt C mit || = ||, dies ergibt die erste Seitenlänge ||. Trage die Seitenlänge || einmal ab dem Punkt C und einmal ab dem Punkt D auf den Umkreis ab. Verbinde die Punkte D-E-A-B-C, damit ist das regelmäßige Fünfeck fertiggestellt.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebener Seitenlänge Mit Anwendung des Goldenen Schnitts, äußere Teilung

hochkant=1.3|mini|Fünfeck bei gegebener Seitenlänge

Zeichne eine Strecke , welche die Länge der vorgegebenen Seite des Fünfecks hat. Verlängere die Strecke ab dem Punkt A um ca. drei Viertel der Strecke . Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt B mit dem Radius ||. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt A mit dem Radius ||, es ergibt sich der Schnittpunkt F. Fälle ein Lot von Punkt F auf die Strecke mit Fußpunkt G. Zeichne eine Parallele zur Strecke ab dem Punkt A bis über den Kreisbogen um Punkt A, es ergibt sich der Schnittpunkt H. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt G mit dem Radius || bis zur Verlängerung der Strecke , es ergibt sich der Schnittpunkt J. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt B mit dem Radius || bis über die Senkrechte, die durch den Punkt F geht, es ergeben sich die Schnittpunkte D auf der Senkrechten und E mit dem Kreisbogen um Punkt A. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt D mit dem Radius ||, bis er den Kreisbogen um Punkt B schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt C. Verbinde die Punkte B-C-D-E-A, somit ergibt sich das regelmäßige Fünfeck.

Fazit Wie in der Konstruktion bei gegebenem Umkreis, ist auch hier der Goldene Schnitt der maßgebende Baustein.

Für den Vergleich der Konstruktionsvarianten sind die Punktebezeichnungen mit Indizes ergänzt: u für die Konstruktion mit gegebenem Umkreis, s für die Konstruktion mit gegebener Seitenlänge.

Seite des Fünfecks: Radius für den Goldenen Schnitt: Streckenverhältnisse des Goldenen Schnitts:

Papierfaltung Durch Zusammenziehen eines aus einem Papierstreifen geschlungenen Überhandknotens nimmt dieser die Form eines regulären Fünfecks an. mini|hochkant=1|Verknoteter Papierstreifen

Polyeder mit regelmäßigen Fünfecken Das Dodekaeder ist der einzige der platonischen Körper, der regelmäßige Fünfecke als Seitenflächen hat. Auch einige archimedische Körper enthalten regelmäßige Fünfecke, nämlich das Ikosidodekaeder, der Ikosaederstumpf, das Rhombenikosidodekaeder und das abgeschrägte Dodekaeder.

Vorkommen Natur Sowohl die Okra als auch die Sternfrucht hat im Querschnitt die Form eines Fünfecks. Die Blüten der Prunkwinde sind ebenfalls fünfeckig ausgebildet. Auch Seesterne und Schlangensterne weisen eine fünfstrahlige Symmetrie auf. Näherungsweise trifft dies auch für die Blätter des Amerikanischen Amberbaums zu. Viele cyclische Verbindungen enthalten eine Fünfringstruktur (etwa Cyclopentan, γ-Butyrolacton, Furan, Furanosen etc.).

Architektur und Festungsbau Der Grundriss einer neuzeitlichen bastionierten Festung hat häufig die Form eines Fünfecks. So sind regelmäßige Fünfecke die vollständig wieder aufgebaute Festung Bourtange in den Niederlanden sowie Nyenschanz (heute in St. Petersburg), die Zitadelle von Jaca, die Zitadelle von Pamplona, die Festung Dömitz, die Zitadelle von Turin, die Zitadelle von ’s-Hertogenbosch, die Zitadelle von Straßburg, die Zitadelle von Amiens, die 1598 abgebrochene Zitadelle von Vitry-le-François von Girolamo Marini, die verschwundene Zitadelle von Antwerpen, die Zitadelle von Doullens (Picardie, nur in Teilen auf regelmäßigem Grundriss), die Zitadelle von Lille, das Harburger Schloss, die Zitadelle Vechta, die Zitadelle von Münster, das Fort Nieuw-Amsterdam, das Kastell von Kopenhagen, Tilbury Fort in Essex östlich von London, die Festung auf der Insel Poel in Mecklenburg, die Höhenfestung Wülzburg bei Weißenburg in Bayern und die Festung Goryōkaku in Japan. Die Stadt Sathmar im heutigen Rumänien besaß eine fünfeckige Festung.

Den Typ des befestigten Palasts (Palazzo in fortezza) auf regelmäßig fünfeckigem Grundriss verkörpern die Villa Farnese in Caprarola (Provinz Viterbo, Italien), die Schlösser Krzyżtopór und Nowy Wiśnicz sowie die Befestigungen von Schloss Łańcut in Polen.

Der Hauptsitz des Verteidigungsministeriums der Vereinigten Staaten in Washington, D.C. wird wegen seines Grundrisses in Form des regelmäßigen Fünfecks Pentagon genannt.

Jeweils ein Fünfeck liegt Kirchengebäuden wie der Corvinuskirche in Hannover, der Dietrich-Bonhoeffer-Kirche (Köln-Lindenthal), der Kirche St. Michael in Detmold (Westfalen), der Kirche St. Markus in Recklinghausen, der Kirche Mariä Himmelfahrt (Irlbach), der Neuen Kirche in Schonungen oder der Wallfahrtskirche Zelená Hora in der Tschechischen Republik zugrunde.