Die Hamiltonsche Mechanik ist eine Formulierung der klassischen Mechanik, die von dem irischen Mathematiker und Physiker William Rowan Hamilton entwickelt wurde. Sie beschreibt die Bewegung physikalischer Systeme – etwa von Planeten, Pendeln oder Teilchen – mithilfe von Größen wie Ort und Impuls.
Im Unterschied zur Newtonschen Mechanik, die unmittelbar mit Kräften und Beschleunigungen arbeitet, betrachtet die Hamiltonsche Mechanik den Zustand eines Systems als Punkt in einem abstrakten Raum aller möglichen Orte und Impulse, dem sogenannten Phasenraum. Die Zeitentwicklung dieses Punktes wird durch die Hamilton-Funktion mittels der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen bei Vernachlässigung von Reibung bestimmt. Hamilton-Funktion hängt meist eng mit der Gesamtenergie des Systems zusammen.
Die Bewegungsgleichungen wurden 1834 von William Rowan Hamilton angegeben. Die Hamiltonsche Mechanik setzt voraus, dass das betrachtete System durch eine Lagrange-Funktion beschrieben werden kann. Sie ermöglicht somit keine Behandlung zusätzlicher Problemklassen, verfügt jedoch über eine besonders elegante mathematische Struktur. Diese hat zwei entscheidende Vorteile: Zum einen besagt der Satz von Liouville, dass die Bewegung im Phasenraum volumentreu ist. Daraus folgt, dass es bei der Bewegung im Phasenraum keine Wirbel und Staupunkte gibt, vergleichbar dem Fluss einer inkompressiblen Flüssigkeit. Zum anderen besitzen die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen eine große Gruppe von Transformationen, die kanonischen Transformationen, die es gestatten, sie in andere, manchmal lösbare Hamiltonsche Gleichungen zu transformieren.
Mit den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen untersucht man insbesondere integrable und chaotische Bewegungen. Sie werden in der statistischen Physik verwendet. Sie spielen auch eine zentrale Rolle in vielen Bereichen der modernen Physik, darunter die Himmelsmechanik, die Quantenmechanik und die Relativitätstheorie.
Grundidee: Hamilton-Funktion und Bewegungsgleichungen Die Hamiltonsche Mechanik beschreibt den Zustand eines mechanischen Systems durch die verallgemeinerten Koordinaten und die zugehörigen kanonischen Impulse . Sie geht von einer Lagrange-Funktion
aus, aus der die kanonischen Impulse durch
definiert werden. Lassen sich diese Beziehungen nach den Geschwindigkeiten auflösen, so kann man die Geschwindigkeiten durch die Impulse ersetzen und die Dynamik in den Variablen und formulieren.
Die zentrale Größe der Hamiltonschen Mechanik ist die Hamilton-Funktion . Sie wird durch eine Legendre-Transformation der Lagrange-Funktion definiert:
wobei die Geschwindigkeiten als Funktionen von , und aufzufassen sind. Die Hamilton-Funktion entspricht bei vielen mechanischen Systemen der Gesamtenergie und besitzt daher häufig eine unmittelbare physikalische Bedeutung.
Die zeitliche Entwicklung des Systems wird durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen beschrieben:
Im Gegensatz zu den Lagrange-Gleichungen, die gewöhnlich als Differentialgleichungen zweiter Ordnung formuliert sind, erhält man damit ein System gekoppelter Differentialgleichungen erster Ordnung. Die Kenntnis der Anfangswerte aller Koordinaten und Impulse genügt, um die weitere Bewegung des Systems eindeutig festzulegen.
Teilchen im Potential
Bei einem Teilchen der Masse , das sich nichtrelativistisch in einem Potential bewegt, setzt sich die Lagrange-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen:
Mit dem kanonischen Impuls
lautet dann die Hamilton-Funktion:
Die zugehörigen Hamiltonschen Bewegungsgleichungen
sind Newtons Gleichungen für die Bewegung in einem konservativen Kraftfeld,
Beispielsweise ist die potentielle Energie eines eindimensionalen harmonischen Oszillators nach dem Hookeschen Gesetz . Die Lagrange-Funktion ist
und die Hamilton-Funktion mit lautet:
Eine zeitunabhängige Hamilton-Funktion ist eine Erhaltungsgröße und die Bewegung des Oszillators verläuft entlang von Ellipsen im Phasenraum
mit den Halbachsen und .
Das Zeitverhalten liefern die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen
denn sie entsprechen der Newtonschen Gleichung für die Bewegung in einem konservativen Kraftfeld:
und man erhält, dass die Bahn um die Ruhelage schwingt:
Dabei ist die Amplitude und eine Zeit, zu der diese maximale Auslenkung durchlaufen wird.
Freies relativistisches Teilchen
Für ein relativistisches, freies Teilchen mit der Energie-Impuls-Beziehung ist die Hamilton-Funktion
Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen besagen, wie die Geschwindigkeit mit dem Impuls zusammenhängt und dass sich der Impuls nicht mit der Zeit ändert:
Wenn die Hamilton-Funktion wie in diesen Beispielen nicht von der Zeit abhängt, behält das System von Teilchen seine anfängliche Energie, sie ist dann eine Erhaltungsgröße.
Relativistische Hamilton-Funktion eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld Für ein relativistisches Teilchen der Ruhemasse und der Ladung im elektromagnetischen Feld mit Vektorpotential und Skalarpotential lautet die Lagrange-Funktion:
Der zugehörige verallgemeinerte Impuls ergibt sich aus der Ableitung der Lagrange-Funktion nach dem Geschwindigkeitsvektor:
Die Hamilton-Funktion erhält man durch die Legendre-Transformation
mit dem Ergebnis:
Um die Hamilton-Funktion ausschließlich durch die kanonischen Variablen auszudrücken, ist die Geschwindigkeit durch den verallgemeinerten Impuls zu eliminieren.
Einsetzen in die Hamilton-Funktion ergibt schließlich
Geometrische Formulierung Ein Hamiltonsches mechanisches System besteht aus einer -dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit genannt Phasenraum (zum Beispiel ) und einer symplektischen Struktur , was zu einer symplektischen Mannigfaltigkeit macht. einer glatten Funktion genannt Hamilton-Funktion.
Die Nichtausgeartetheit der symplektischen Form gewährleistet, dass zu jeder Hamilton-Funktion eindeutig ein Vektorfeld existiert, das durch das innere Produkt des Vektors mit der Differentialform
definiert ist. Dieses Vektorfeld wird als Hamiltonsches Vektorfeld bezeichnet. Die zeitliche Entwicklung des Systems wird durch die Integralkurven von beschrieben. Ist
eine solche Integralkurve, so gilt
Damit wird die Dynamik vollständig durch die Geometrie des Phasenraums und die Hamilton-Funktion festgelegt. Die Hamilton-Funktion eines Systems von Teilchen hängt von den (verallgemeinerten) Ortskoordinaten und von den (verallgemeinerten) Impulskoordinaten der Teilchen ab und kann auch von der Zeit abhängen.
Die Zahl der Koordinaten und Impulse nennt man die Zahl der Freiheitsgrade. Der Phasenraum ist -dimensional. Für die symplektischen Struktur
auf den kanonischen Koordinaten nimmt das Vektorfeld die Form
an, mit und als -dimensionale Einheitsmatrix.
Die Hamilton-Funktion bestimmt die zeitliche Entwicklung der Teilchenorte und Teilchenimpulse durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen:
Dies ist ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung für die unbekannten Funktionen der Zeit,
Ist die Lagrange-Funktion zeitunabhängig, so ist die Hamilton-Funktion eine Erhaltungsgröße. Dann schneiden sich die Lösungskurven nicht und es geht durch jeden Punkt des Phasenraums eine Lösungskurve.
Die Hamilton-Funktion ist die Gesamtenergie als Funktion des Phasenraums, wenn die Zwangsbedingungen skleronom, holonom sind das System konservativ ist das Bezugssystem ruht.
Bei zeitabhängigen kann man die Zeit als einen zusätzlichen Freiheitsgrad mit zugehörigem Impuls und der zeitunabhängigen Hamilton-Funktion auffassen. Daher beschränken wir uns im Folgenden auf zeitunabhängige Hamilton-Funktionen. Allerdings ist die Funktion nicht nach unten beschränkt und die Hyperfläche konstanter Energie ist nicht, wie bei einigen Überlegungen vorausgesetzt, kompakt.
Harmonischer Oszillator in der geometrischen Formulierung Der Phasenraum des eindimensionalen harmonischen Oszillators ist die zweidimensionale Mannigfaltigkeit
deren Punkte durch die Koordinaten beschrieben werden. Die moderne symplektisch-geometrische Formulierung der Hamiltonschen Mechanik beruht auf der Gleichung
wobei die symplektische Form, die Hamilton-Funktion und das zugehörige Hamiltonsche Vektorfeld bezeichnet. Wir verwenden für den zweidimensionalen Phasenraum die kanonischen Koordinaten und . Als symplektische Form wählt man
Die Hamilton-Funktion des harmonischen Oszillators lautet
Das zugehörige Hamiltonsche Vektorfeld ist durch die Gleichung
definiert. Aus der Hamilton-Funktion ergibt sich zunächst
Setzt man allgemein
so folgt mit der Definition des inneren und äußeren Produkts
Durch Vergleich mit erhält man
Damit lautet das Hamiltonsche Vektorfeld für den harmonischen Oszillator
Eine Integralkurve des Vektorfeldes ist eine Kurve
im Phasenraum, deren Tangentialvektor in jedem Punkt mit dem Wert des Vektorfeldes an diesem Punkt übereinstimmt. Mathematisch wird dies durch
ausgedrückt. Der Tangentialvektor der Kurve ist
Andererseits ergibt sich für das Hamiltonsche Vektorfeld entlang der Kurve
Da beide Ausdrücke denselben Vektor darstellen, müssen die Koeffizienten der Basisvektoren und übereinstimmen. Daraus folgt unmittelbar
sowie
Dies sind genau die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen des harmonischen Oszillators.
Wirkungsprinzip
Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen folgen aus dem Hamiltonschen Prinzip der stationären Wirkung. Von allen denkbaren Bahnen im Phasenraum,
die anfänglich zur Zeit durch den Anfangspunkt
und schließlich zur Zeit durch den Endpunkt
laufen, ist die physikalisch durchlaufene Bahn diejenige, auf der die Wirkung
stationär ist.
Betrachtet man nämlich eine einparametrige Schar von Kurven
die anfänglich zur Zeit durch den Anfangspunkt
und schließlich zur Zeit durch den Endpunkt
laufen, so ist die Wirkung für extremal, falls dort die Ableitung nach verschwindet.
Wir bezeichnen diese Ableitung als Variation der Wirkung
Ebenso ist
die Variation des Ortes und
die Variation des Impulses.
Die Variation der Wirkung ist nach der Kettenregel
Den zweiten Term schreiben wir als vollständige Zeitableitung und einen Term, bei dem ohne Zeitableitung auftritt:
Das Integral über die vollständige Ableitung ergibt zur Anfangs- und Endzeit und verschwindet, weil dann verschwindet, denn es gehen alle Kurven der Schar durch dieselben Anfangs- und Endpunkte. Fassen wir schließlich die Terme mit und zusammen, so beträgt die Variation der Wirkung
Damit die Wirkung stationär ist, muss dieses Integral für alle und alle verschwinden, die anfänglich und schließlich verschwinden. Das ist genau dann der Fall, wenn die Faktoren verschwinden, mit denen sie im Integral auftreten:
Die Wirkung ist also stationär, wenn die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen gelten.
Zusammenhang zur Lagrange-Funktion
Die Hamilton-Funktion ist die bezüglich der Geschwindigkeiten Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion
Dabei sind auf der rechten Seite mit den Geschwindigkeiten diejenigen Funktionen gemeint, die man erhält, wenn man die Definition der Impulse
nach den Geschwindigkeiten auflöst.
Wenn man die Definition der Impulse invertieren und nach den Geschwindigkeiten auflösen kann, dann gelten die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen genau dann, wenn die Euler-Lagrange-Gleichungen der Wirkung
erfüllt sind. Denn die partielle Ableitung von nach den Impulsen ergibt nach der Kettenregel und der Definition der Impulse
Ebenso ergibt die Ableitung nach den Ortskoordinaten
Die Euler-Lagrange-Gleichung besagt
Also gelten die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen, wenn die Euler-Lagrange-Gleichung gilt. Umgekehrt gilt die Euler-Lagrange-Gleichung, wenn die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen gelten.
Beispielsweise hängt beim freien, relativistischen Teilchen mit der Lagrange-Funktion
der Impuls gemäß
von der Geschwindigkeit ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion
des Impulses. In die obige Gleichung für eingesetzt
ergibt sich die schon angegebene Hamilton-Funktion des freien, relativistischen Teilchens.