Die Aussagenlogik ist ein Teilgebiet der Logik, das sich mit Aussagen und deren Verknüpfung durch Junktoren befasst, ausgehend von strukturlosen Elementaraussagen (Atomen), denen ein Wahrheitswert zugeordnet wird. In der klassischen Aussagenlogik wird jeder Aussage ein Element einer Booleschen Algebra als Wahrheitswert zugeordnet. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage lässt sich ohne zusätzliche Informationen mittels der Operationen der Booleschen Algebra aus den Wahrheitswerten ihrer Teilaussagen bestimmen.
Geschichte Historisch geht die Aussagenlogik zurück bis zu Aristoteles, der erstmals aussagenlogische Grundsätze diskutierte, nämlich in seiner Metaphysik den Satz vom Widerspruch und den Satz vom ausgeschlossenen Dritten, und der in seiner Ersten Analytik den indirekten Beweis thematisierte. Die zweiwertige aussagenlogische Semantik entwickelten etwas später die megarischen Philosophen Diodoros Kronos und Philon. Die Aussagensemantik und -axiomatik kombinierte der Stoiker Chrysippos von Soli, der den ersten aussagenlogischen Kalkül formulierte. Die Weiterentwicklung der Aussagenlogik der Stoa durch das Mittelalter wird oft übersehen.Karl Dürr: Aussagenlogik im Mittelalter. In: Erkenntnis. Bd. 7, Nr. 1, 1937/1938, , S. 160–168, doi:10.1007/BF00666521. Eine erste vollständige und entscheidbare Formalisierung für aussagenlogische Tautologien – allerdings noch nicht für das aussagenlogische Schließen – schuf George Boole 1847 mit seinem algebraischen Logikkalkül. Den ersten aussagenlogischen Kalkül mit Schlussregeln formulierte Gottlob Frege im Rahmen seiner Begriffsschrift 1879. Er war die Vorlage für den Aussagenkalkül von Bertrand Russell 1908, der sich später durchsetzte (s. u.).
Abgrenzung zu anderen Logiken Da in der heutigen Mathematik die klassische Aussagenlogik maßgeblich wurde, wird in diesem Artikel dieser moderne Haupttypus der Aussagenlogik behandelt. Allgemein ist die klassische Logik durch zwei Eigenschaften charakterisiert:
Jede Aussage hat einen von genau zwei Wahrheitswerten, meist falsch oder wahr (Prinzip der Zweiwertigkeit oder Bivalenzprinzip). Der Wahrheitswert jeder zusammengesetzten Aussage ist eindeutig durch die Wahrheitswerte ihrer Teilaussagen bestimmt (Prinzip der Extensionalität oder Kompositionalität, siehe Extensionalitätsprinzip).
Das Prinzip der Zweiwertigkeit wird oft mit dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten verwechselt.
Die klassische Aussagenlogik ist jenes Gebiet der klassischen Logik, das die innere Struktur von Sätzen (Aussagen) daraufhin untersucht, aus welchen anderen Sätzen (Teilsätzen) sie zusammengesetzt sind und wie diese Teilsätze miteinander verknüpft sind. Die innere Struktur von Sätzen, die ihrerseits nicht in weitere Teilsätze zerlegt werden können, wird von der Aussagenlogik nicht betrachtet. Ein Beispiel: Die Aussage „Alle Katzen sind Hunde, und die Erde ist eine Scheibe“ ist mit dem Bindewort und aus den beiden kürzeren Aussagen „Alle Katzen sind Hunde“ und „Die Erde ist eine Scheibe“ zusammengesetzt. Diese beiden Aussagen lassen sich ihrerseits nicht mehr in weitere Aussagen zerlegen, sind aus aussagenlogischer Sicht also elementar oder atomar. Andere, auf die Aussagenlogik aufbauende logische Systeme betrachten die innere Struktur solcher atomaren Aussagen; ein wichtiges Beispiel ist die Prädikatenlogik.
In Abgrenzung zur klassischen Logik entstehen nichtklassische Logiksysteme, wenn man das Prinzip der Zweiwertigkeit, das Prinzip der Extensionalität oder sogar beide Prinzipien aufhebt. Nichtklassische Logiken, die durch die Aufhebung des Prinzips der Zweiwertigkeit entstehen, heißen mehrwertige Logik. Die Zahl der Wahrheitswerte (in diesem Falle üblicher: Pseudowahrheitswerte) kann dabei endlich sein (z. B. dreiwertige Logik), ist aber oft auch unendlich (z. B. Fuzzy-Logik). Hingegen verwenden Logiken, die durch die Aufhebung der Extensionalität entstehen, Junktoren (Konnektive), bei denen sich der Wahrheitswert des zusammengesetzten Satzes nicht mehr eindeutig aus dem Wahrheitswert seiner Teile bestimmen lässt. Ein Beispiel für nichtextensionale Logik ist die Modallogik, die die einstelligen nichtextensionalen Operatoren „es ist notwendig, dass“ und „es ist möglich, dass“ einführt.
Logische Systeme stehen innerhalb der Logik nicht in einem Konkurrenzverhältnis um Wahrheit oder Richtigkeit. Die Frage, welches logische System für einen bestimmten Zweck genutzt werden soll, ist eher eine pragmatische.
Oft werden logische Systeme und logische Fragestellungen mit außerlogischen Fragen verwechselt oder vermischt, z. B. mit der metaphysischen Frage, welches logische System „richtig“ sei, d. h. die Wirklichkeit beschreibe. Zu dieser Frage gibt es unterschiedliche Standpunkte einschließlich des positivistischen Standpunkts, dass diese Frage sinnlos sei. Diese Fragen fallen aber in andere Gebiete, z. B. Philosophie, Wissenschaftstheorie und Sprachwissenschaft.
Wenn in diesem Artikel die klassische Aussagenlogik behandelt wird, so ist das also nicht als metaphysische Festlegung zu verstehen oder gar als Behauptung, dass „alle Aussagen wahr oder falsch sind“. Es ist lediglich so, dass die klassische Aussagenlogik einfach nur solche Aussagen behandelt, die wahr oder falsch sind. Das ist eine große formale Vereinfachung, die dieses System relativ leicht erlernbar sein lässt. Braucht man aus metaphysischen oder pragmatischen Gründen mehr als zwei Wahrheitswerte, kann die klassische Aussagenlogik als Ausgangspunkt dienen, um ein geeignetes logisches System aufzustellen.
Umgangssprachliche Einleitung
Einfache Aussage (Elementaraussage)
Eine Aussage A ist ein Satz, der entweder wahr (w, wahr, true, 1, ⊤) oder nicht wahr (f, falsch, false, 0, ⊥) ist. Das gilt sowohl für einfache als auch für verknüpfte Aussagen. „Halbwahrheiten“ gibt es nicht. Eine Aussage kann sowohl der gewöhnlichen Sprache entstammen als auch der Sprache der Mathematik. Eine Elementaraussage ist eine Aussage, die keine aussagenlogischen Verknüpfungen (nicht, und, oder, wenn … dann, genau dann wenn) enthält.
Beispiele für Elementaraussagen: : München ist 781 km von Hamburg entfernt. : 9 ist durch 3 teilbar. : Eintracht Frankfurt wird in der nächsten Saison deutscher Fußballmeister. : Alle Autos sind grün.
ist offensichtlich wahr (triviale mathematische Aussage), dagegen ist falsch (es gibt einfache Gegenbeispiele). stellt im mathematischen Sinne keine Aussage dar (ungenau genug in vielerlei Hinsicht, hat Interpretationsspielraum)Was ist München? Was ist Hamburg? Von wo aus wird die Entfernung gemessen? Genauigkeitsprobleme., gleiches gilt für .Die Aussage ist immer unbestimmt, da zukünftige Ereignisse immer unbestimmt sind.
In der klassischen Aussagenlogik ist eine Aussage entweder wahr oder nicht wahr, auch wenn man den Wahrheitsgehalt nicht kennt. Das ist zum Beispiel bei den ungelösten mathematischen Problemen der Fall.
Anmerkung: ist eine All-Aussage; die Struktur solcher Aussagen ist Gegenstand der Prädikatenlogik. Im Sinne der Aussagenlogik ist es eine Elementaraussage.
Verneinte Aussage – Negation
Die Verneinung bzw. Negation (auch: Satzverneinung, äußere Verneinung, kontradiktorisches Gegenteil) einer Aussage A ist diejenige Aussage ¬A, die genau dann wahr ist, wenn A falsch ist, und die genau dann falsch ist, wenn A wahr ist. Einfacher: Die Verneinung einer Aussage A dreht den Wahrheitswert von A in sein Gegenteil um.
Man erhält die Verneinung einer Aussage A immer dadurch, dass man ihr die Formulierung „Es ist nicht der Fall, dass“ voranstellt. Zwar lässt sich ein natürlichsprachlicher Satz auch verneinen, indem man das Wort „nicht“ oder eine andere negative Formulierung an geeigneter Stelle einfügt – es ist aber nicht immer ganz einfach, zu erkennen, welche Formulierung zu verwenden und an welcher Stelle einzufügen ist. Formal schreibt man für „nicht A“ in der gebräuchlichsten Notation (Schreibweise) ¬A, auf Englisch und in der Schaltalgebra auch „NOT A“, gelegentlich auch ~A. A ¬A falsch wahr wahr falsch
Wir verneinen die obigen Beispiele: ¬: Es ist nicht der Fall, dass München 781 km von Hamburg entfernt ist. ¬: Es ist nicht der Fall, dass 9 durch 3 teilbar ist. ¬: Es ist nicht der Fall, dass Eintracht Frankfurt in der nächsten Saison deutscher Fußballmeister wird. ¬: Es ist nicht der Fall, dass alle Autos grün sind. (Es gibt mindestens ein Auto, das nicht grün ist.)
Allgemein gilt für die Verneinung: Wenn eine Aussage A wahr ist, ist die Verneinung ¬A falsch. Wenn eine Aussage A falsch ist, ist die Verneinung ¬A wahr. Eine Aussage A kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein. Die Aussagen A und ¬A können nicht gleichzeitig wahr sein.
Und-verknüpfte Aussagen – Konjunktion
Eine Konjunktion ist eine aus zwei Aussagen zusammengesetzte Aussage, die die Wahrheit all ihrer Teilaussagen behauptet. Umgangssprachlich verbindet man zwei Aussagen A und B durch das Bindewort „und“ zu einer Konjunktion „A und B“, in der logischen Sprache verwendet man meist das Zeichen ∧ (Schreibweise: A ∧ B), gelegentlich auch &. Sprechweise: „A und B“ Schreibweise: A ∧ B auf Englisch und in der Schaltalgebra auch A B
Die Aussage A ∧ B ist immer dann wahr, wenn sowohl A als auch B jeweils wahr sind. Andernfalls ist A ∧ B falsch, nämlich dann, wenn entweder A oder B oder beide Aussagen falsch sind.
Beispiele für eine Und-Verknüpfung:
A: 9 ist durch 3 teilbar B: 9 ist eine Quadratzahl A B A ∧ B wahr wahr wahr falsch wahr falsch wahr falsch falsch falsch falsch falsch
Diese Teilaussagen und ihre Negationen werden nun durch ∧ miteinander verknüpft:
: 9 ist durch 3 teilbar und 9 ist eine Quadratzahl. : 9 ist nicht durch 3 teilbar und 9 ist eine Quadratzahl. : 9 ist durch 3 teilbar und 9 ist keine Quadratzahl. : 9 ist nicht durch 3 teilbar und 9 ist keine Quadratzahl. Nur = A ∧ B ist wahr, weil A wahr ist und auch B wahr ist. = ¬A ∧ B ist falsch, weil ¬A falsch ist. = A ∧ ¬B ist falsch, weil ¬B falsch ist. = ¬A ∧ ¬B ist falsch, weil sowohl ¬A als auch ¬B falsch ist.
Nichtausschließendes Oder – Disjunktion
Eine Disjunktion ist eine zusammengesetzte Aussage, die behauptet, dass mindestens eine ihrer Teilaussagen wahr ist. Die Disjunktion in diesem Sinn wird auch nichtausschließendes Oder genannt. (Aber Achtung: Die Bezeichnung „Disjunktion“ wurde und wird oft auch für das ausschließende Oder, „entweder … oder“, verwendet – man denke an das Konzept der disjunkten Mengen. Einige Autoren verwenden daher für das Nichtausschließende Oder den Begriff Adjunktion.) Das Formelzeichen ∨ stammt von dem lateinischen Wort vel; für ausschließendes Oder wurde im Lateinischen aut … aut verwandt. Sprechweise: „A oder B“; genauer: „A oder auch B“ oder „A oder B oder beide(s)“, häufig in juristischen oder medizinischen Texten: „A und/oder B“ Schreibweise: A ∨ B auf Englisch und in der Schaltalgebra auch A B
Die Aussage A ∨ B ist immer dann wahr, wenn mindestens eine der Teilaussagen A oder B wahr ist, bzw. wenn beide Teilaussagen wahr sind. Andernfalls ist A ∨ B falsch, nämlich dann, wenn sowohl A als auch B falsch sind.
Beispiel für eine Oder-Verknüpfung: A: 9 ist durch 3 teilbar B: 9 ist eine Quadratzahl A B A ∨ B wahr wahr wahr falsch wahr wahr wahr falsch wahr falsch falsch falsch Diese Teilaussagen und ihre Negationen werden nun durch ∨ miteinander verknüpft: : 9 ist durch 3 teilbar oder 9 ist eine Quadratzahl. : 9 ist nicht durch 3 teilbar oder 9 ist eine Quadratzahl. : 9 ist durch 3 teilbar oder 9 ist keine Quadratzahl. : 9 ist nicht durch 3 teilbar oder 9 ist keine Quadratzahl.
= A ∨ B ist wahr, weil sowohl A als auch B wahr sind. = ¬A ∨ B ist wahr, weil B wahr ist. = A ∨ ¬B ist wahr, weil A wahr ist. Nur = ¬A ∨ ¬B ist falsch, weil sowohl ¬A als auch ¬B falsch sind.