Die Formelsammlung zur euklidischen Geometrie ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.

Bezeichner und Schreibweisen

In den allermeisten Fällen gilt: Punkte werden mit lateinischen Großbuchstaben beschriftet. Linien wie Geraden, Strecken und Bögen werden mit lateinischen Kleinbuchstaben beschriftet. Winkel werden mit griechischen Kleinbuchstaben beschriftet.

Im Folgenden werden Winkel im Gradmaß angegeben.

Geometrie in der Ebene Grundlagen Winkel Nebenwinkel Die Summe von Nebenwinkeln beträgt immer 180°.175pxScheitelwinkel Scheitelwinkel sind immer gleich groß.175pxStufenwinkel Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.175pxWechselwinkel Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.175pxAußenwinkel Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.175pxWinkelsummen Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer 180° Die Summe der Innenwinkel in einem -Eck ist immer Die Summe der Außenwinkel beträgt in einem konvexen -Eck stets 360° (unabhängig von der Eckenzahl )

Teilung einer Strecke

Verhältnisteilung: Um eine Strecke in einem bestimmten Verhältnis (in gleiche Teile) zu teilen, zeichnet man zunächst einen beliebigen Strahl von aus, der nicht parallel zu ist. Auf diesem trage man mal eine beliebig lange Strecke ab. Den erhaltenen Endpunkt verbinde man mit und zeichne die Parallelen zu durch die bei der Unterteilung von entstandenen Punkte. Deren Schnittpunkte mit teilen in gleiche Teile.

Flächen und Umfänge mini|Ein Dreieck mit Standardbezeichnung Die Standardbezeichnung für Dreiecke: Eckpunkte und . Die Ecke ist beim gleichschenkligen Dreieck der Treffpunkt der gleichen Seiten und beim rechtwinkligen Dreieck der Scheitel des rechten Winkels. Seiten ist die der Ecke gegenüberliegende Seite, entsprechendes gilt für und . Beim gleichseitigen Dreieck werden alle Seiten mit bezeichnet. Winkel ist der (Innen-)Winkel in Ecke , der Winkel in Ecke und der Winkel in Ecke .

Figur Flächeninhalt A Umfang U Bemerkung, Weiteres Dreieck Allgemeines Dreieck Letztere Flächenformel wird als Satz des Heron bezeichnet. ist der halbe Umfang, der Umkreisradius und der Inkreisradius. Gleichseitiges Dreieck Alle Seiten sind gleich lang.Alle Winkel sind gleich groß (60°).Höhenlinien = Symmetrieachsen = Winkelhalbierende = Seitenhalbierende= Mittennormale Gleichschenkliges Dreieck Zwei Seiten sind gleich lang (Schenkel und ); die dritte Seite heißt Basis Die beiden Basiswinkel ( und ) sind gleich groß.Die Höhenlinie durch halbiert den Winkel und die Basis . Rechtwinkliges Dreieck.Hypotenuse = längste Seite = Seite gegenüber dem 90°-Winkel.Katheten = Seiten, die den rechten Winkel bilden.Es gilt die Satzgruppe des Pythagoras (s. u.) Viereck Quadrat Diagonale Rechteck Diagonale Raute (Rhombus) = Diagonalen, = beliebiger Innenwinkel. Parallelogramm ist die Höhe zur Seite . Trapez = parallele Seiten, = Mittellinie symmetrischer Drachen (Deltoid) = Diagonalen. Sehnenviereck Viereck mit Umkreis, Umkreisradius , halber Umfang; Diagonalen: , Tangentenviereck Viereck mit Inkreis mit Inkreisradius .Es gilt Polygone Regelmäßiges Polygon – Anzahl der Ecken – Radius des Umkreises, d. h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Ecke – Radius des Inkreises, d. h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Seitenmitte – Kantenlänge einer Seite des PolygonsKreis Kreis100px Es bezeichnet die Kreiszahl. Kreisring = Außenradius, = Innenradius Kreisausschnitt100px b = (Winkel im Bogenmaß) Kreisabschnitt (Segment)100px (Winkel im Bogenmaß) Kegelschnitte Ellipse Menge der Punkte, für die die Summe der beiden Abstände zu zwei gegebenen Punkten (Brennpunkten) konstant () ist. Der Umfang lässt sich nicht mit elementaren Funktionen angeben (→ Elliptisches Integral). D,d großer und kleiner Durchmesser. Kartesische Koordinaten: Hyperbel Keine geschlossene Fläche Keine geschlossene Kurve Menge aller Punkte, für die die absolute Differenz der Abstände zu den Brennpunkten konstant 2a ist. Kartesische Koordinaten: Parabel Keine geschlossene Fläche Keine geschlossene Kurve Menge aller Punkte, deren Abstand zu einem speziellen festen Punkt (dem Brennpunkt) und einer speziellen Geraden (der Leitgeraden l) konstant ist. Kartesische Koordinaten: .

Dreiecksgeometrie Ausgezeichnete Punkte mini|Seitenhalbierende und Schwerpunkt|150px Seitenhalbierende (Schwerlinien) teilen einander im Verhältnis 2:1. schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S des Dreiecks. teilen die Dreiecksfläche in je zwei gleich große Teilflächen.

Schnittpunkt der Mittelsenkrechten (Mittennormalen) = Mittelpunkt des Umkreises. mini|Winkelhalbierende und Inkreis|150px Schnittpunkt der Winkelhalbierenden = Mittelpunkt des Inkreises.

mini|Höhen|150px Höhenlinien schneiden einander in einem Punkt H, dem Höhenschnittpunkt des Dreiecks. Die Höhe hc ist der Normalabstand des Punktes C zur Seite c (rechter Winkel bei D).

Satzgruppe des Pythagoras Satz des Pythagoras Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten. Sind und die Längen der Katheten und die Länge der Hypotenuse, dann gilt:

Kathetensatz Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse. Mit den Bezeichnungen der untenstehenden Zeichnung gilt:

Höhensatz Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe auf der Hypotenuse flächengleich mit dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten. Mit den Bezeichnungen der untenstehenden Zeichnung gilt:

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Dreiecksungleichung

Die Summe zweier Seiten eines Dreiecks ist stets größer als die dritte Seite.

Kongruenz- und Ähnlichkeitssätze Zwei Dreiecke sind kongruent bzw. deckungsgleich, wenn sie übereinstimmen in drei Seiten (sss) zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws) zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite (Ssw) einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (wsw)

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn drei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben zwei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen zwei Winkel übereinstimmen

Strahlensätze

Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Strahlenabschnitte des ersten Strahles im gleichen Verhältnis wie die entsprechenden Abschnitte des zweiten Strahles. Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Parallelabschnitte im gleichen Verhältnis, wie die vom Scheitelpunkt aus gemessenen zugehörigen Strahlenabschnitte auf jeweils demselben Strahl.

Geometrie der Körper

Körper Volumen V Oberfläche O Bemerkungen, Weiteres Prismen Parallelepiped (Spat)100px Quader100px Raumdiagonalenlänge AllgemeinesPrisma MantelflächeSäulen Rundsäule (Zylinder) Hohlzylinder Außen-,InnenradiusPyramide AllgemeinePyramide Pyramidenstumpf Grundfläche Deckfläche Kegel Kreiskegel nur für senkrechte Kegel: Zusammenhang von Radius, Höhe und Seitenhöhe: gerader Kegelstumpf Radien Platonische Körper Tetraeder Hexaeder (Würfel) Raumdiagonalenlänge Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder Kugel und Kugelteile Kugel Kugelkalotte (Kugelmütze, Kugelkappe) Kugelsegment (Kugelabschnitt) mit Kugelzone(Kugelschicht) mit = Durchmesser des unteren Schnittkreises und = Durchmesser des oberen Schnittkreises Drehkörper Ellipsoid Halbachsen a,b,c Torus

siehe auch: Eulerscher Polyedersatz, Prinzip von Cavalieri

Trigonometrie

siehe: Trigonometrie, Formelsammlung Trigonometrie

Analytische Geometrie

siehe: Analytische Geometrie, Formelsammlung analytische Geometrie

Literatur

Einzelnachweise

!Formelsammlung Geometrie Kategorie:Liste (Mathematik)