Risikomaß

Das Risikomaß () ist in der Finanzmathematik ein Sammelbegriff für statistische Maße, mit denen es möglich ist, die Ungewissheit eines Ereignisses quantitativ zu beschreiben. Beispielsweise kann so die (Gesamt)-Risikoposition eines Unternehmens erfasst werden.

Allgemeines Die Anwendung von Risikomaßen auf (Verlust-)Verteilungsfunktionen ist eine Teilaufgabe bei der Risikoquantifizierung, einer Bewertung von Risiken durch Beschreibung mittels einer geeigneten Dichte- oder Verteilungsfunktion (oder historischen Daten) über die Wirkung des Risikos und die Zuordnung von Risikomaßen: Zunächst werden die identifizierten Risiken quantitativ durch geeignete Verteilungsfunktionen (Wahrscheinlichkeitsverteilung) beschrieben. Anschließend wird ein Risikomaß benutzt, um der Verteilung die Höhe des Risikos zu entnehmen.

Für den ersten Schritt (Ermittlung einer geeigneten Dichtefunktion) gibt es mehrere alternative Varianten:Werner Gleißner/Frank Romeike: Risikomanagement. Rudolf Haufe Verlag, München 2005, ISBN 3-448-06209-X, S. 211 ff. mittels zweier Verteilungsfunktionen: Eine zur Darstellung der Schadenshäufigkeit in einer Periode (beispielsweise mit Hilfe der Poisson-Verteilung) und eine weitere zur Darstellung der Schadenshöhe je Schadensfall (beispielsweise mit Hilfe der Normalverteilung); mittels einer verbundenen Verteilungsfunktion, mit der die Risikowirkung in einer Periode dargestellt wird. Ein Risikomaß (wie die Standardabweichung oder der Value at Risk) ist nun eine Zuordnung, welche einer Dichte- oder Verteilungsfunktion einen reellen Wert zuordnet. Dieser Wert soll das zugehörige Risiko darstellen. Hiermit wird ein Vergleich von Risiken ermöglicht, die durch unterschiedliche Verteilungsfunktionen beschrieben werden. Welche Eigenschaften eine solche Zuordnung erfüllen muss, um ein Risikomaß darzustellen, wird in der Literatur nicht einheitlich gesehen (s. Eigenschaften von Risikomaßen).

Die Risikomaße können sich auf Einzelrisiken (zum Beispiel Sachanlageschäden), aber auch auf den Gesamtrisikoumfang (etwa bezogen auf Gewinn) eines Unternehmens beziehen. Die quantitative Bewertung einer Gesamtrisikoposition erfordert eine Aggregation der Einzelrisiken. Diese ist beispielsweise mittels Monte-Carlo-Simulation möglich, bei der die Wirkungen aller Einzelrisiken in ihrer Abhängigkeit im Kontext der Planung betrachtet werden.Werner Gleißner/Frank Romeike: Risikomanagement. Rudolf Haufe Verlag, München 2005, ISBN 3-448-06209-X, S. 31ff.

Charakterisierung Risikomaße lassen sich grundsätzlich unterscheiden in Maße für ein einzelnes Risiko (also ein Risikomaß im engeren Sinn, wie beispielsweise die Standardabweichung) oder Maße, die das Risiko zweier Zufallsgrößen zueinander in Beziehung setzt (also ein Risikomaß im weiteren Sinn wie beispielsweise die Kovarianz).

Eine weitere Unterscheidung von Risikomaßen ergibt sich aus dem Umfang der Berücksichtigung von Informationen aus der zu Grunde liegenden Verteilung. Zweiseitige Risikomaße (wie die Standardabweichung) berücksichtigen diese komplett, während die so genannten Downside-Risikomaße (wie beispielsweise der VaR und die LPM-Maße) lediglich die Verteilung bis zu einer bestimmten Schranke betrachten.

Eigenschaften von Risikomaßen Risikomaße (RM) lassen sich durch ihre Eigenschaften charakterisieren. Mit Hilfe der entsprechenden Definitionen lässt sich diskutieren, welche Eigenschaften ein Risikomaß besitzen sollte und welche Risikomaße welche Vor- und Nachteile in Bezug auf die Beschreibung eines Risikos besitzen. Auch wird durch die Summe von Risikoeigenschaften eine bestimmte Klasse von Risikomaßen definiert. Bei den folgenden Eigenschaften ist vorausgesetzt, dass die betrachteten Zufallsvariablen Verlustvariablen in dem Sinn sind, dass Verluste durch positive Zahlen ausgedrückt werden und größere positive Zahlenwerte größere Verlust bedeuten, siehe z. B.M. Denuit et al. Actuarial Theory for Dependent Risks. New York 2005, S. 62–65. Häufig werden analoge Eigenschaften für Gewinnvariablen definiert, bei denen Verluste durch negative Zahlen abgebildet sind, z. B.Philippe Artzner/Freddy Delbaen/Jean-Marc Eber/David Heath: Coherent measures of risk. In: Mathematical Finance. Band 9, Nr. 3, 1999, S. 203–228.Georg Ch. Pflug, Werner Römisch: Modelling, Measuring and Managing Risk. New Jersey 2007, S. 27–32. Dann unterscheiden sich insbesondere die Definitionen der TranslationsinvarianzGeorg Ch. Pflug, Werner Römisch: Modelling, Measuring and Managing Risk. New Jersey 2007, S. 38. und der MonotonieGeorg Ch. Pflug, Werner Römisch: Modelling, Measuring and Managing Risk. New Jersey 2007, S. 39. von den folgenden Definitionen.

Im Folgenden bezeichnet eine Menge von Zufallsvariablen, für die das Risikomaß definiert ist.

Monotonie Ein Risikomaß heißt genau dann monoton (bezüglich der stochastischen Ordnung), wenn .

Dabei ist die stochastische Ordnung von Zufallsvariablen (auch stochastische Dominanz erster Ordnung). Für zwei Zufallsvariablen und mit den Verteilungsfunktionen und gilt genau dann, wenn für alle gilt. Anschaulich bedeutet , dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von weiter rechts liegt und damit großen Verlusten eine größere Wahrscheinlichkeit gibt als die Wahrscheinlichkeitsverteilung von . Die Monotonie garantiert, dass sich dieser Sachverhalt in einem größeren oder wenigstens nicht kleineren Wert des Risikomaßes widerspiegeln. Auch wenn diese Eigenschaft trivial wirkt, so ist sie z. B. bei der Standardabweichung (Volatilität) nicht erfüllt, aus folgt also nicht . Die äquivalente Eigenschaft für Gewinnvariablen ist ; größere Gewinne (kleinere Verlust) sollen also nicht zu einem kleineren Wert des Risikomaßes führen.

Teilweise wird die Monotonie als Eigenschaft von Risikomaßen auch mit Hilfe der gewöhnlichen Ordnung von Zufallsvariablen definiert. Dabei gilt für zwei Zufallsvariablen und , die auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind, genau dann, wenn für alle gilt. Es gilt die Implikation , während die Umkehrung nicht richtig ist. Ein Risikomaß heißt genau dann monoton (bezüglich der gewöhnlichen Ordnung), wenn .

Translationsinvarianz Definition: Ein Risikomaß heißt genau dann translationsinvariant (oder cash-invariant), wenn

gilt.

Wird die Verlustverteilung um einen fixen, risikolosen Betrag verschoben, so verändert sich – wenn Translationsinvarianz vorliegt – der Wert des Risikomaßes um exakt den gleichen Betrag. Die äquivalente Eigenschaft für Gewinnvariablen ist . Wird  B. die Gewinnvariable durch einen positiven Betrag erhöht, so vermindert sich im Fall der Translationsinvarianz der Wert des Risikomaßes um den Betrag .

Positive Homogenität Definition: Ein Risikomaß heißt genau dann positiv homogen, wenn

gilt.

Positive Homogenität besagt, dass der Verlust und das Risikomaß in gleichem Maße skaliert werden.

Subadditivität Definition: Ein RM ist subadditiv, wenn gilt:

Das bedeutet: Führt man die Risiken zweier Verlustverteilungen zusammen, so sollte das Risikomaß dadurch kein größeres Risiko ausweisen. Subadditivität formalisiert damit den Grundgedanken der Diversifikation. Diversifikation wird also bei Risikomaßen belohnt, wenn diese subadditiv sind. Der Value at Risk ist ein verbreitetes Risikomaß, welches nicht subadditiv ist.

Allerdings gibt es auch Argumente, die gegen die Sinnhaftigkeit von Subadditivität sprechen.Jan L. M. Dhaene/Mark J. Goovaerts/Rob Kaas: Economic capital allocation derived from risk measures. In: North American Actuarial Journal. Vol. 7, No. 2, 2003, S. 44–56. Die Aufteilung in zwei getrennte Einheiten kann in bestimmten Fällen ein geringeres Risiko aufweisen. Ein Beispiel wäre die Aufteilung in eine „Bad Bank“ und eine „Good Bank“. Ebenso könnten durch die Aufspaltung einer systemrelevanten Bank Risiken für das Bankensystem reduziert werden.

Law-Invariance (Verteilungsinvarianz) Ein RM ist law-invariant, wenn für zwei identisch verteilte Zufallsvariable und gilt: . Das bedeutet: Bestehen die gleichen Risiken für zwei Zufallsvariablen so wird, wenn Law-Invariance besteht, durch das Risikomaß das gleiche Risiko ausgewiesen.

Komonotone Additivität Ein RM ist komonoton additiv, wenn für zwei komonotone Zufallsvariablen und gilt: . Komonotone Additivität besagt, dass im Fall von Abhängigkeit der Zufallsvariablen durch das Zusammenlegen der Verteilungen keine Risiken reduziert werden, also das gemessene Risiko nicht kleiner wird. Hat ein RM die Eigenschaft der komonotonen Additivität, so wird Diversifikation nur belohnt, wenn die Risiken auch wirklich reduziert werden.

Konvexität Ein RM ist konvex, wenn für jedes gilt: .

Für positiv homogene Risikomaße sind Konvexität und Subadditivität offensichtlich äquivalent. Insbesondere folgt Subadditivität aus Konvexität, wenn gesetzt wird.

Lageabhängig (loss-based) bzw. Lageunabhängig (dispersion-based) Loss-based RM wie Value-at-Risk oder Expected Shortfall werden in Bezug zu absoluten Werten gemessen und sind damit abhängig vom Mittelwert der Verteilung

Lageunabhängige Risikomaße wie die Volatilität messen Risiko unabhängig von einem Bezugspunkt (allein aus der Form der Verteilung). Sie sind somit unabhängig vom Mittelwert der Verteilung.

Diese beiden Eigenschaften können teilweise ineinander umgeformt werden. Wendet man beispielsweise ein lageabhängiges Risikomaß nicht auf eine Zufallsgröße , sondern auf eine zentrierte Zufallsgröße an, so ergibt sich ein lageunabhängiges Risikomaß. Da in die Berechnung von lageabhängigen Risikomaßen auch die Höhe des Erwartungswertes einfließt, können diese auch als eine Art risikoadjustierter Performancemaße interpretiert werden.

Klassifizierung von Risikomaßen Basierend auf oben beschriebenen Eigenschaften existieren unterschiedliche Klassifizierungen von Risikomaßen. Dabei gilt die Monotonie als Minimalanforderung, damit man überhaupt von einem Risikomaß sprechen kann. Ein Risikomaß heißt monetäres Risikomaß, wenn es monoton und translationsinvariant ist. Häufig wird zusätzlich die positive Homogenität verlangt. Ein Risikomaß heißt schwach kohärentes Risikomaß, wenn es monoton, translationsinvariant und konvex ist. Manchmal werden die schwach kohärenten Risikomaße als konvexe Risikomaße bezeichnet. Ein Risikomaß heißt kohärentes Risikomaß, wenn es monoton, translationsinvariant, positiv homogen und konvex ist. Wenn ein Risikomaß monoton, translationsinvariant und positiv homogen ist, dann ist die Konvexität äquivalent zur Subadditivität.

Übersicht Standardabweichung Die Standardabweichung als Risikomaß für eine unsichere Zahlung berechnet sich als , wobei der Erwartungswert von ist und positive wie negative Abweichungen vom Erwartungswert gleichermaßen erfasst. Die (scheinbare) Symmetrie und identische Bedeutung von Chancen und Gefahren bei der Risikomessung ist allerdings zu relativieren. Sie scheint auch der Intuition und der Risikowahrnehmung der meisten Menschen zu widersprechen, die Gefahren (mögliche negative Planabweichungen) wesentlich höher bewerten als gleich hohe Chancen.

Zur Beschreibung des Gesamtrisikoumfangs werden wegen der besonderen Bedeutung möglicher Verluste insbesondere auch so genannte „Downside-Risikomaße“ verwendet, die speziell den möglichen Umfang negativer Abweichungen erfassen. Zu nennen sind hier beispielsweise der Value at Risk,Der Value at Risk zum Konfidenzniveau ist definiert als ≥ mit der Eigenkapitalbedarf,Das zur Deckung möglicher Verluste notwendige Eigenkapital. die LPMs (Lower Partial Moments) sowie die Ausfallwahrscheinlichkeit.Also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein als erforderlich angesehenes Mindestvermögen oder Mindestertrag unterschritten wird.Hersh Shefrin/Meir Statman: Behavioral capital asset pricing theory. In: Journal of Financial and Quantitative Analysis. 29. Jg., Nr. 3, 1994, S. 323–349. Sie sind sinnvoll, wenn die Risiken nicht symmetrisch und Verluste besonders zu beachten sind.

Value at Risk – VaR