In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra.
Definition Ist ein Hilbertraum und bezeichnet die Menge aller stetigen Endomorphismen von (d. h. beschränkte lineare Operatoren), so heißt ein Operator normal, falls er mit seinem adjungierten Operator kommutiert, also wenn
gilt.
Beispiele Selbstadjungierte und unitäre Operatoren sind offenbar normal. Der unilaterale Shift ist ein Beispiel für einen nicht-normalen Operator.
Eigenschaften Sei ein normaler Operator. Dann gilt: für alle er ist paranormal: für alle Für alle ist auch normal. Die Operatornorm von ist gleich dem Spektralradius: Dabei bezeichnet das Spektrum von . Die von erzeugte C*-Algebra und die von erzeugte Von-Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül. Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes. Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren, indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt. Ein beschränkter Operator in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in mit dem „Realteil“ und dem „Imaginärteil“ Dabei sind die Operatoren selbstadjungiert. ist genau dann normal, wenn .
Verwandte Begriffe Ein Operator heißt quasinormal, falls mit vertauscht, das heißt . subnormal, falls es einen Hilbertraum gibt, so dass Unterraum von ist, und einen normalen Operator , so dass und . hyponormal, falls für alle . Class A, falls , wobei der Betrag von ist, also ausgeschrieben . paranormal, falls für alle . normaloid, falls Operatornorm = Spektralradius, d. h.: .
Es gelten folgende Implikationen:
normal quasinormal subnormal hyponormal Class A paranormal normaloid.
Aussagen Der Satz von Ando von Tsuyoshi Ando sagt, gibt es für einen paranormalen Operator ein , so dass normal ist, dann ist normal. Der Satz verallgemeinert ein Resultat von Joseph Gail Stampfli, der die Aussage für hyponormale Operatoren gezeigt hat.
Unbeschränkte Operatoren Ein unbeschränkter Operator mit Definitionsbereich heißt normal falls
gilt. Oben genannte äquivalente Charakterisierung der Normalität zeigt, dass es sich um eine Verallgemeinerung der Normalität beschränkter Operatoren handelt. Alle selbstadjungierten Operatoren sind normal, denn für diese gilt .
Literatur Harro Heuser: Funktionalanalysis. B.G. Teubner, Stuttgart (1986), ISBN 3-519-22206-X. Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics, American Mathematical Society, Providence (2009), ISBN 978-0-8218-4660-5. (freie Online-Version)
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis