In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine Verteilung mit schweren Rändern ( heavy tails) bzw. endlastige Verteilung oder Heavy-tailed-VerteilungGrimm/Schlüchtermann, S. 174 f. ( heavy-tailed distribution) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren Dichte langsamer als exponentiell fällt. Anschaulich besagt der Begriff, dass auf den „Rändern“ oder „Verteilungsenden“ der Verteilung mehr Masse liegt als beispielsweise bei der Exponentialverteilung. Es gibt drei wichtige Unterklassen von Verteilungen mit schweren Rändern: die Verteilungen mit fetten Verteilungsenden ( fat tails), die Verteilungen mit langen Verteilungsenden ( long tails) und die subexponentiellen Verteilungen.
Definition Eine Zufallsgröße besitzt eine Verteilung mit schweren Rändern, wenn für ihre Verteilungsfunktion gilt:
Sergey Foss, Dmitry Korshunov, Stan Zachary: An Introduction to Heavy-Tailed and Subexponential Distributions, Springer Science & Business Media, 2013.
Für die Teilmenge der subexponentiellen Verteilungen gilt zudem:
Sind unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen, so gilt unter der Annahme, dass sie subexponentiell verteilt sind, dass die Verteilung der Summe der asymptotisch durch die Verteilung des Maximums der bestimmt istWolf-Rüdiger Heilmann und Klaus Jürgen Schröter: Grundbegriffe der Risikotheorie. VVW GmbH, 2013..
Beispiele Pareto-Verteilung Logarithmische Normalverteilung Logarithmische Gammaverteilung Lévy-Verteilung Cauchy-Verteilung Weibull-Verteilung mit Formparameter kleiner 1 t-Verteilung
Anwendungen In der Versicherungsmathematik verwendet man Verteilungen mit schweren Rändern zur Modellierung von Großschäden und Extremereignissen.
Auch in der Finanzwirtschaft sind schwere Ränder von Bedeutung. So zeigten Benoit Mandelbrot und Eugene Fama, dass die Renditen von Aktien und anderen spekulativen Anlagen erheblich von der Normalverteilung abweichen und in der Regel endlastig sind.Benoit Mandelbrot (1963): The Variation of Certain Speculative Prices. In: Journal of Business, Vol. 36, No. 4, S. 394–419.Eugene Fama (1965): The Behavior of Stock-Market Prices. In: Journal of Business, Vol. 38, No. 1, S. 34–105.
Literatur Paul Embrechts, Thomas Mikosch, Claudia Klüppelberg: Modelling extremal events. Springer, Berlin 1997, ISBN 3-540-60931-8.
Einzelnachweise
Kategorie:Versicherungsmathematik Kategorie:Finanzierung Kategorie:Verteilungsklasse