mini|Der Lorentz-Faktor als Funktion der Relativgeschwindigkeit mini|Der Graph des reziproken Lorentz-Faktors als Funktion von ist ein Viertelkreis. Der dimensionslose Lorentz-Faktor (gamma) beschreibt in der speziellen Relativitätstheorie die Zeitdilatation sowie den Kehrwert der Längenkontraktion bei der Koordinatentransformation zwischen relativ zueinander bewegten Inertialsystemen. Er wurde von Hendrik Antoon Lorentz im Rahmen der von ihm ausgearbeiteten Lorentz-Transformation entwickelt, die die mathematische Grundlage der speziellen Relativitätstheorie bildet.
Wenn die Geschwindigkeit so hoch ist, dass sie einige Prozent der Lichtgeschwindigkeit beträgt („relativistische Geschwindigkeit“), weicht der Lorentz-Faktor signifikant von Eins ab und relativistische Effekte müssen berücksichtigt werden.
Definition Der Lorentz-Faktor ist definiert als:
bezeichnet die Relativgeschwindigkeit zweier Bezugssysteme. Die Lichtgeschwindigkeit ist eine vom Bezugssystem unabhängige Naturkonstante.
Zur Vereinfachung von Formeln gibt man die Relativgeschwindigkeit oft als Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit an. Mit
schreibt sich der Lorentz-Faktor als
.
Für relativ zueinander ruhende Bezugssysteme gilt .
Ist , aber klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit, also
,
so wird durch eine Taylor-Entwicklung
.
In welcher Ordnung die Entwicklung in der klassischen Physik abgebrochen werden kann, ist nicht allgemein zu beantworten. Für die meisten Anwendungen kann als konstant Eins angenommen werden, für die kinetische Energie entspricht die Entwicklung bis zur ersten Ordnung () dem Wert der newtonschen Physik, denn .
Lorentz-Faktor in Abhängigkeit von der Energie Der Lorentz-Faktor lässt sich angeben als:
mit der kinetischen Energie des betrachteten Objektes seiner Ruheenergie und der gesamten Energie .
Lorentz-Faktor in Abhängigkeit vom Impuls
Mit dem relativistischen Dreierimpuls eines Objekts der Masse hängt der Lorentz-Faktor wie folgt zusammen:
und .
Dass der Zusammenhang von mit der Energie und dem Impuls äquivalent ist, erkennt man durch Einsetzen in die Energie-Impuls-Relation:
Lorentz-Faktor bei Beschleunigungen Die zeitliche Ableitung von ist interessant, um die relativistische Form des zweiten newtonschen Gesetzes für Beschleunigungen in Bewegungsrichtung zu formulieren, da die relativistisch korrekte Beziehung über den Impuls lautet.
Aus folgt direkt:
Der dritte Summand ist null, weil die Masse sich bei Beschleunigung nicht ändert.Wie in der deutschen Wikipedia generell üblich verwenden wir nicht das Konstrukt der relativistischen Massenzunahme. Mit der zeitlichen Ableitung des Lorentz-Faktors
erhält man die folgende Beziehung zwischen Kraft und Beschleunigung:
Anmerkungen
Einzelnachweise
Kategorie:Spezielle Relativitätstheorie Kategorie:Dimensionslose Größe Kategorie:Hendrik Antoon Lorentz