mini|250px|Definitionen am Einheitskreis Sekans und Kosekans sind trigonometrische Funktionen. Der Sekans wird mit bezeichnet, der Kosekans mit oder . Die Funktionen haben ihren Namen durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge von Sekantenabschnitten:
rechts|250px|Ein rechtwinkliges Dreieck Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sekans das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete und damit die Kehrwert-Funktion der Kosinusfunktion.
Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete und damit die Kehrwert-Funktion der Sinusfunktion:
Eigenschaften
Graphen mini|zentriert|hochkant=3|Graph der Sekansfunktion mini|zentriert|hochkant=3|Graph der Kosekansfunktion
Definitionsbereich Sekans: Kosekans:
Wertebereich
Periodizität Periodenlänge
Symmetrien Sekans: Achsensymmetrie: Kosekans: Punktsymmetrie:
Polstellen Sekans: Kosekans:
Extremstellen Sekans: Minima: Maxima: Kosekans: Minima: Maxima:
Nullstellen Beide Funktionen haben keine Nullstellen.
Asymptoten Beide Funktionen haben keine horizontalen Asymptoten.
Sprungstellen Beide Funktionen haben Sprungstellen.
Wendepunkte Beide Funktionen haben keine Wendepunkte.
Wichtige Funktionswerte Da Sekans und Kosekans periodische Funktionen mit der Periode (entspricht im Gradmaß ) sind, reicht es, die Funktionswerte des Sekans für den Bereich und die des Kosekans für den Bereich zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang
bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog
Hierbei bezeichnet eine ganze Zahl. Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen in einer leicht zu merkenden Reihe auf. Winkel (Grad)BogenmaßSekansKosekans Weitere wichtige Werte sind: Winkel (Grad)BogenmaßSekansKosekans Beweisskizzen:
, weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) dann gleichschenklig ist, und nach Pythagoras gilt . , weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) gespiegelt an der -Achse dann gleichseitig ist (mit Seitenlänge 1), und somit die Seitenlänge die doppelte Länge der Gegenkathete ist. , weil für das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) wegen für den Sekans nach Pythagoras gilt . , weil im Pentagramm das Inverse des Goldenen Schnitts auftritt, wobei der halbierte Winkel in den Spitzen gleich 18° ist. , weil im regelmäßigen Fünfeck der Goldene Schnitt auftritt, wobei der halbierte Innenwinkel gleich 54° ist. und lassen sich mit Hilfe der Halbwinkelformeln für Sinus und Kosinus herleiten.
Weitere mit Quadratwurzeln darstellbare Funktionswerte Siehe auch: Sinus und Kosinus: Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte
Weil der Sekans jeweils der Kehrwert des Kosinus und der Kosekans der Kehrwert des Sinus ist, lassen sich die Funktionswerte und genau dann mit Quadratwurzeln darstellen, wenn das auch für und möglich ist. Generell gilt, dass und genau dann explizit mit den vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln darstellbar sind, wenn der Winkel mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, insbesondere also wenn von der Gestalt
ist, wobei , und die für Fermatsche Primzahlen sind.Emil Artin: Galoissche Theorie. Verlag Harri Deutsch, Zürich 1973, ISBN 3-87144-167-8, S. 85.
Umkehrfunktionen
Sekans: Auf einer halben Periodenlänge, z. B. ist die Funktion umkehrbar (Arkussekans):
Kosekans Auf einer halben Periodenlänge, z. B. ist die Funktion umkehrbar (Arkuskosekans):
Reihenentwicklung
Summenreihen
Die Maclaurin-Reihe der Sekans-Funktion ist
Sie hat den Konvergenzradius .
Die Laurent-Reihe des Kosekans (für ) lautet
Die Symbole und stehen für eulersche Zahlen bzw. Bernoulli-Zahlen.
Außerdem existieren folgende Partialbruchzerlegungen:
Fakultät und Produktreihe Mit Hilfe der Fakultätsfunktion beziehungsweise der Gaußschen Pifunktion können Sekans und Kosekans wie folgt dargestellt werden:
Sekans:
Kosekans:
Die Fakultätsfunktion entspricht der Eulerschen Gammafunktion von der Nachfolgerfunktion und kann demnach für alle reellen Zahlen so definiert werden:
Die nun gezeigte Produktreihe wird Weierstraßsches Produkt genannt und dient der Ermittlung von Sekans und Kosekans mittels Produktentwicklungen.
Mit dem griechischen Buchstaben wird die Euler-Mascheroni-Konstante dargestellt.
Ableitung Sekans:
Kosekans
Integral Sekans:
Kosekans
Komplexes Argument mit
mit
Anwendung für numerische Berechnungen – Bedeutung historisch Bevor elektronische Rechenmaschinen allgegenwärtig waren, verwendete man für die Winkelfunktionen Tabellen, meist in gedruckten Büchern. Mit einem solchen Funktionswert aus einer Tabelle zu multiplizieren war bequemer und praktischer, als durch so einen Wert zu dividieren (dies gilt übrigens auch für nicht aufgehende Wurzelwerte usw.); wenn in einer Formel also ein Sinus oder Kosinus im Nenner steht, ist es bequem, statt dieser Werte die entsprechenden Kosekans- bzw. Sekanswerte in den Zähler zu schreiben.
Dieses Argument ist im Zeitalter der allgemein verfügbaren elektronischen Taschenrechner nur noch von historischer Bedeutung; Sekans und Kosekans sind in den neueren Formelsammlungen nicht mehr erwähnt und auch nicht als Funktionen (mit eigener Taste) in den Rechnern implementiert. Für diesen Zweck sind diese Funktionen schlicht überflüssig geworden; sie lösten ein Problem, das nicht mehr besteht.
Siehe auch Sinus und Kosinus Tangens und Kotangens Trigonometrische Funktion Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus Formelsammlung Trigonometrie
Weblinks Eric W. Weisstein: Secant und Cosecant auf MathWorld
Einzelnachweise
Kategorie:Trigonometrische Funktion