Stoßmittelpunkt

Der Stoßmittelpunkt und der Schwingungs­mittel­punkt sind in der Mechanik identische Punkte eines festen Körpers. Fasst man den Stiel eines Hammers oder Beils im Stoß­mittel­punkt, dann muss die Hand beim Hämmern keinen Prellstoß aushalten. Gewöhnlich ist der Stiel so lang, dass sich der Stoß­mittel­punkt an seinem Ende befindet. Reduziert man andererseits den aufgehängten Körper auf einen Massenpunkt im Schwingungs­mittel­punkt, dann hat dieses sogenannte mathematische Pendel dieselbe Schwingungsdauer wie der ursprüngliche Körper.

Der Schwingungsmittelpunkt wird gelegentlich auch Oszillationszentrum genannt, anlehnend an die englische, französische und lateinische Namensgebung (center of oscillation, centre d’oscillation und centrum oscillationis).

Von Mitte des 17. bis Mitte des 18. Jahrhunderts nahm die Theorie des Schwingungsmittelpunktes neben der Theorie der Stoßgesetze einen zentralen Platz in der Erforschung der sich erst herausbildenden Klassischen Mechanik ein. Mit ihr entwickelten sich die Grundgesetze der Dynamik. Im Anschluss und bis heute wird sie als eine Anwendung der Eulerschen Gleichungen für starre Körper verstanden.Man siehe vor allem den Artikel Oscillation von J. d’Alembert und L. Jaucourt, in: Diderot, d’Alembert (Hrsg.), L’Encyclopedie. 1. Auflage. Band 11, Paris 1765, S. 679–680. Und die historische Einleitung in J. L. Lagrange: Mécanique Analytique. 2. Auflage. Nouvelle Édition. Paris 1815. Tome Premier, seconde partie, § I, S. 221 ff.: Sur les différents principes de la Dynamique; . Anhand der Entwicklung des Schwingungsmittelpunktes von Körpern wird bis heute unter Wissenschaftshistorikern diskutiert, ob die Newtonschen Axiome für die Klassische Mechanik unzureichend sind. Man vergleiche bspw. mit

Der Stoß- und Schwingungsmittelpunkt von Körpern wird in heutigen Lehrbüchern der (Technischen) Mechanik und Physik im Anwendungskontext eines physikalischen Pendels behandelt. Man vergleiche exemplarisch S. 144 in

Beschreibung Wenn ein Beil auf einen Klotz prallt, übt dieser eine Reaktionskraft auf das Beil aus, siehe Abbildung 1. Die Reaktionskraft F tendiert dazu einerseits das Beil nach oben zu beschleunigen und andererseits das Beil in Drehung gegen den Uhrzeigersinn zu versetzen. Durch die Beschleunigung nach oben bewegt sich der Endpunkt des Griffes nach oben und durch die Drehung senkt sich der Endpunkt ab. Für die Hand wäre es am angenehmsten, wenn der Griff dort, wo die Hand ihn hält, weder nach oben noch nach unten beschleunigt würde, sodass er keine Kraft auf die Hand ausübt. Der Punkt, wo dies der Fall ist, ist der Stoßmittelpunkt.

Voraussetzung war, dass das Beil symmetrisch zur Bildebene ist und die Stoßkraft F in ihr wirkt, damit das Beil durch den Stoß nicht senkrecht zur Bildebene kippt. Für den Stoßmittelpunkt ist nur die Kraftkomponente senkrecht zum Griff von Bedeutung. Eine Kraftkomponente in Richtung des Griffs ist sicherlich unangenehm und kann vermieden werden, indem dafür gesorgt wird, dass der Griff zum Zeitpunkt des Aufpralls auf den Klotz wie im Bild senkrecht zur Stoßkraft F, also waagerecht ausgerichtet ist.

Neben der Ausnutzung bei Beil und Hammer sind folgende Anwendungen bemerkenswert: Wird eine Billardkugel auf einer glatten Ebene in ihrem Stoß­mittel­punkt angestoßen, dann rollt sie auf der Ebene schlupflos ab, siehe Eulersche Kreiselgleichungen. Wenn ein Körper mit Symmetrieebene, wie besagtes Beil und der Hammer, das Pendel eines Schlagwerkes, der Glockenklöppel oder das ballistische Pendel in seinem Stoß­mittel­punkt aufgehängt wird, dann erfährt die Drehachse keinen Stoßdruck. Insbesondere wenn eine aufklappende Tür durch einen Türstopper bei 2/3 ihrer Breite aufgehalten wird, werden die Türangeln nur minimal belastet, siehe das Beispiele mit B≈0. Die hier vernachlässigte Elastizität der Tür führt zu Biegeschwingungen und Lagerreaktionen, die nur bei schwungvollem Aufschlag beachtenswert sind.

Stoßmittelpunkt

mini|100px|Physikalisches Pendel (braun) mit Schwerpunkt S und Stoß­mittel­punkt C

Betrachtet wird ein fester Körper, der in einem Punkt P frei drehbar aufgehängt ist. Der Einfachheit halber soll der Körper eine Symmetrieebene besitzen, in der der Massenmittelpunkt S, das Lager P und die Wirkungslinie der Stoßkraft F liegen. Dann führt der Körper eine ebene Bewegung aus, wo sich alle Körperpunkte in Parallelebenen aufhalten, siehe Abbildung.

Auf den nach unten hängenden Körper soll im Punkt C in der Symmetrieebene, exzentrisch eine Kraft F horizontal so wirken, dass bei der einsetzenden Drehbewegung der Lagerpunkt P in Ruhe bleibt, keine horizontale Lagerreaktion auftritt und sich die einsetzende Bewegung als reine Drehung um P darstellt. Würde man den Körper im Punkt P halten, würde die Stoßkraft, wie beim Beil oben, keine spürbare Wirkung auf die Hand ausüben. P ist dann der anfängliche Momentanpol, und es gilt:

   oder   

mit: {| | m:|| Masse des Körpers |- | r:|| Abstand des Schwerpunkts vom Stützpunkt (│PS│) |- |style="vertical-align: top;"| θS:|| Massenträgheitsmoment des Körpers um den Massenmittelpunkt S und eine Drehachse senkrecht zur Schwingungsebene.

Für die Herleitung wird eine Kraft betrachtet, die nicht im Massen­mittel­punkt des Körpers angreift und ihn somit in Drehung versetzt. Der Kraftangriffspunkt soll so gewählt werden, dass die Drehung um den Schwerpunkt S dieselbe Winkelbeschleunigung (zweifache Zeitableitung von α) erfährt wie die Drehung um den Aufhängepunkt P, denn das ist Voraussetzung dafür, dass sich der Körper um P dreht. Dann gilt der Drallsatz in der xy-Ebene: . In Worten: „Drehmoment Kraft mal Hebelarm um einen Punkt ist gleich Massenträgheitsmoment um diesen Punkt mal Winkelbeschleunigung“. Auf diese Geometrie angewendet, ergibt sich für die Punkte P und S mit der angreifenden Kraft F und dem Massenträgheitsmoment θP des Körpers um P:

Der Steiner’sche Satz führt auf besagtes

   oder   

Schwingungsmittelpunkt

mini|100px|Physikalisches Pendel (braun) mit Lager P, Schwerpunkt S und Schwingungs­mittel­punkt C

Betrachtet wird derselbe Körper, der im Punkt P unverschieblich aber drehbar aufgehängt wird. Die Gewichtskraft mg greift in seinem Schwerpunkt S an. Wenn dieser, wie in der Abbildung, nicht lotrecht unter oder über P liegt, übt die Gewichtskraft ein Drehmoment aus, das den Körper zum Pendeln anregt. Bei kleinen Schwingungen hat dieses sogenannte physikalische Pendel die Kreisfrequenz

mit: r: Abstand des Schwerpunkts vom Stützpunkt (│PS│) m: Masse des Körpers g: Schwerebeschleunigung und θP: Massenträgheitsmoment des Körpers um P und eine Drehachse senkrecht zur Schwingungsebene.

Beim mathematischen Pendel mit Massenpunkt in C ist die Kreisfrequenz nur vom Abstand |PC|=r+e der Masse vom Lager und nicht von der Masse selbst abhängig:

Hier ist |SC|=e der Abstand des Massenpunkts vom Schwerpunkt und die Länge |PC| wird auch reduzierte Länge genannt. Der Schwingungs­mittel­punkt C liegt dort, wo beide Kreisfrequenzen übereinstimmen:

Nach dem Steiner’schen Satz sind die Trägheitsmomente um P und S durch verknüpft, sodass sich wie beim Stoß­mittel­punkt

   oder   

ergibt.

Die Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels ändert sich nicht, wenn Aufhängepunkt und Schwingungsmittelpunkt vertauscht werden.

Mathematisches Pendel

Das mathematische Pendel besteht aus einem Massenpunkt, der im Schwerefeld an einem masselosen Faden aufgehängt ist. Beim Massenpunkt stimmen Schwerpunkt und Massen­mittel­punkt überein und relativ zu ihnen hat der Punkt kein Massenträgheitsmoment (θS=0). Beim mathematischen Pendel stimmen deshalb Schwerpunkt, Massen­mittel­punkt, Stoß- und Schwingungs­mittel­punkt überein.

Beispiele 1. Der Balken

Betrachtet wird der in Abbildung 2 und Abbildung 3 dargestellte, an einem Ende aufgehängte Balken. Er besitzt einen rechteckigen Querschnitt mit Breite B und Höhe H senkrecht zur Bildebene, die Länge R=2r und die Masse m. Ein solcher Balken hat das Massenträgheitsmoment θS=m(R2+B2)/12 um den Massen­mittel­punkt, siehe Liste von Trägheitstensoren, Parallelogramm und Quader. Der Stoß- und Schwingungs­mittel­punkt befindet sich damit im Abstand

von einem Ende des Balkens. Mit B=r/2=R/4 wie in den Bildern ist

   oder   

Beim dünnen Balken mit vernachlässigbarer Dicke B, wie bei einer Tür, ist

   bzw.   

2. Starr verbundene Punktmassen: das zusammengesetzte Pendel

mini|300px|Punktmassen an einer starr angenommenen, masselosen Schnur

Der einfachste Fall eines ausgedehnten Körpers, bei dem Stoß- bzw. Schwingungsmittelpunkt C nicht mit dem Massenmittelpunkt S zusammenfällt, betrifft zwei Körper A und B mit den Massen und . Sie werden an einer als masselos angenommenen Stange aufgehängt (siehe Abb. „Punktmassen“ links). Gesucht ist dann der Punkt C dieses zusammengesetzten Pendels.Das folgende induktive Herangehen an das Problem des ‚zusammengesetzten Pendels‘ geht auf C. Huygens 1661 zurück (De centro oscillationis). Auf die Weise hat er den Schwingungsmittelpunkt einer Stange (dünner Balken) theoretisch gelöst, nachdem die Richtigkeit bereits von Mersenne experimentell erwiesen war. Zur historischen Version des Beweises, die noch ohne Integralrechnung auskam, siehe IV:141, Seite 141 f. in Vom Aufhängungspunkt P aus betrachtet ist das Trägheitsmoment . Und der Schwerpunkt der zwei Körper im Abstand ergibt sich aus dem Ansatz , wenn die Gesamtmasse des zusammengesetzten Pendels definiert. Dann folgt durch Einsetzung der Schwingungsmittelpunkt . Für ein zusammengesetztes Pendel mit vier Massepunkten (siehe Abb. „Punktmassen“ rechts) in den Abständen ergibt sich entsprechend der Schwingungsmittelpunkt von P aus als . Und allgemein für Massen in den Abständen folglich .

Im infinitesimalen Übergang für unendlich viele Punktmassen , die in einer Reihe angeordnet gedacht werden, muss der obige Fall in den eines dünnen starren Balkens (siehe obiges Beispiel 1) bzw. einer in der Ebene betrachteten Stange übergehen. Denn dies entspricht (bei homogen angenommener Massenverteilung ) dem Übergang zu einem Massenkontinuum in einer Richtung . Somit . Es folgt also durch Einsetzung im Grenzgang

(oder auch wie im Beispiel zum physikalischen Pendel gezeigt).

Entstehungsgeschichte

mini|300px|Der Stoßmittelpunkt eines Schwertes (veranschaulicht nach Baldi und Mersenne)

Die ursprüngliche Problemstellung zum Stoßmittelpunkt findet sich in der Mechanik Bernardino Baldis von 1621. Demnach wäre es eine schöne Fragestellung, an welcher Stelle eine einschlagende Axt oder ein Schwert die maximale Wirkung auf den geschlagenen Körper ausübt.Siehe dazu Baldis Kommentar zu Questio XIX auf S. 131 seiner Schrift In Mechanica Aristotelis Problemata Exercitationes. Mainz 1621. doi:10.3931/e-rara-8255 Zugleich bemerkt Baldi die instantane Verschiebung dieser Stelle beim Übergang vom translativen Stoß im Schwerpunkt hin zur Rotation außerhalb des Schwerpunktes. Von Beginn an wird das Problem mechanisch mit einer internen Hebelwirkung erklärt. Unter Baldis Erklärung mischt sich allerdings auch ein spukhafter immaterieller Verschiebungsfluss.

Es war Marin Mersenne, der die Problemstellung 1644 in seinem Tractatus Mechanicus aufgreift und erstmals klar definiert. Er sorgte für ihre Verbreitung unter den mathematischen Gelehrten seiner Zeit und regte experimentelle Lösungen an. Nach ihm wurden nur noch mathematische Modelle als wissenschaftliche Erklärung anerkannt.Marin Mersenne, Tractatus Mechanicus – Theoreticus et Practicus. Paris 1644, S. 83 f.: Proposition 25: Erläuterung verschiedener Gedanken zur Stoßkraft und Aufdeckung von deren Schwierigkeit. Abgedruckt in M. Mersenne: Cogitata Physico Mathematica. Paris 1644. S. 685 ff.; digitale-sammlungen.de

mini|Rechts das aus zwei Gewichten zusammengesetzte Pendel nach Mariotte (1673)