Zehneck

In der Geometrie ist das Zehneck oder Dekagon (von und ) ein beliebiges Polygon mit zehn Seiten und zehn Ecken.

Im Weiteren wird das regelmäßige Zehneck behandelt. Es hat gleich lange Seiten und seine Ecken liegen auf einem gemeinsamen Umkreis. Die auf diesem Wege gegebene geometrische Figur besteht also aus zehn kongruenten goldenen Dreiecken erster Art.

Der diesem Zehneck einbeschriebene, einzig mögliche Stern (grün) mit dem Schläfli-Symbol {10/3, 10/7} heißt Dekagramm.

Formeln

Mathematische Formeln zum regelmäßigen Zehneck Seitenlänge 300px|Größen des ZehnecksLänge der Diagonalen Inkreisradius Umkreisradius Zentriwinkel Innenwinkel Flächeninhalt  

Berechnung des Flächeninhalts Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Zehnecks mit der Seitenlänge berechnet sich wie folgt:

Konstruktion eines Zehnecks Ein regelmäßiges Zehneck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Konstruktion bei gegebenem Umkreis mini|270px|Regelmäßiges Zehneck nach Euklid, ist gleich der Seitenlänge a

Konstruktion nach Euklid Führe die Konstruktionsschritte zu einem regelmäßigen Fünfeck nur soweit aus, bis dessen Seitenlänge durch die Strecke bestimmt ist. In der vertikalen Achse des Achsenkreuzes ergeben sich dabei die Eckpunkte E3 und E8. Übertrage die so bestimmte Fünfeckseite auf den Umkreis, es ergibt sich der erste Eckpunkt E1 des entstehenden Zehnecks. Halbiere den Winkel E1ME3 (Zentriwinkel eines Fünfecks), es ergibt sich der zweite Eckpunkt E2 und somit die erste Seite des Zehnecks. Bestimme die restlichen Eckpunkte durch Abtragen der Strecke auf den Umkreis entgegen dem Uhrzeigersinn. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

Alternative (1) Vorüberlegung Der Mittelpunkt M des Umkreises teilt die Strecke im Goldenen Schnitt. Darin ist der sogenannte Minor die Strecke , für diese gilt:

Für die Seitenlänge a des Zehnecks gilt:

wegen

gilt auch

Konstruktion Führe die Konstruktionsschritte zu einem regelmäßigen Fünfeck nur soweit aus, bis dessen Seitenlänge durch die Strecke bestimmt ist. Die Länge der Strecke entspricht der gesuchten Seitenlänge a des Zehnecks. Trage ab dem Punkt E3 die Seitenlänge a neunmal entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

Alternative (2) Konstruiere die fünf Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks (Zentriwinkel = 72°), entsprechend der Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis. Ziehe eine Linie von jeder Ecke des Fünfecks durch den Mittelpunkt des Kreises bis auf die Umkreislinie. Somit sind alle zehn Eckpunkte bestimmt. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

Konstruktion bei gegebener Seitenlänge mini|270px|Regelmäßiges Zehneck bei gegebener Seitenlänge, Animation siehe Bezeichne die Endpunkte der Seitenlänge a mit E1 und E10 Zeichne einen Kreisbogen um E1 mit dem Radius durch E10. Konstruiere eine Senkrechte zur Seitenlänge a ab E1 bis sie den Kreisbogen um E1 in A schneidet. Zeichne einen Kreisbogen um E10 mit dem Radius durch E1, es ergeben sich die Schnittpunkte B und C. Zeichne eine gerade Linie ab C durch B (Mittelsenkrechte), sie schneidet die Seitenlänge a in D. Verlängere die Seitenlänge a ab E1. Zeichne einen Kreisbogen um D mit dem Radius bis er die Verlängerung der Seitenlänge a in F schneidet. Zeichne einen Kreisbogen um E10 mit dem Radius , er schneidet die Mittelsenkrechte von im Mittelpunkt M des Umkreises vom gesuchten Zehneck. Zeichne den Umkreis des entstehenden Zehnecks um M mit dem Radius R = . Bestimme die restlichen Eckpunkte durch Abtragen der Seitenlänge a auf den Umkreis entgegen dem Uhrzeigersinn. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

Der Mittelpunktswinkel mit der Winkelweite ergibt sich mithilfe der Innenwinkel des rechtwinkligen Dreiecks mit den Seiten und (siehe nächsten Abschnitt Der Goldene Schnitt im Zehneck) nach dem Satz des Pythagoras:

daraus folgt

Der Goldene Schnitt im Zehneck Sowohl in der Konstruktion bei gegebenem Umkreis als auch in der bei gegebener Seitenlänge ist der Goldene Schnitt mittels äußerer Teilung der maßgebende Baustein.

In der Konstruktion bei gegebenem Umkreis verlängert der Kreisbogen mit dem Radius |FE3| um den Punkt F den Umkreisradius um die Strecke . Die somit erzeugte Strecke teilt der Mittelpunkt M im Goldenen Schnitt.

In der Konstruktion bei gegebener Seitenlänge bewirkt der Kreisbogen um den Punkt D mit dem Radius |DA| eine Verlängerung der gegebenen Seitenlänge um die Strecke , damit ist die Strecke die längere Strecke des Verhältnisses (siehe hierzu die Definition des Goldenen Schnittes).

Parkettierung eines Zehnecks mit goldenen Dreiecken Es gibt zahlreiche Möglichkeiten, ein Zehneck mit Goldenen Dreiecken zu parkettieren. Die folgenden Beispiele zeigen Parkettierungsmöglichkeiten mit Goldenen Dreiecken erster Art (spitzwinklig) und Goldenen Dreiecken zweiter Art (stumpfwinklig).

Parkettierungen Zehneck.svg

Links und rechts besteht die Parkettierung aus jeweils 10 Goldenen Dreiecken erster und 10 Goldenen Dreiecken zweiter Art und in der Mitte aus 20 Goldenen Dreiecken erster Art und 10 Goldenen Dreiecken zweiter Art.Heinz Klaus Strick: Kunterbunte Mathematik. Springer-Verlag, Berlin 2023, ISBN 978-3-662-67312-6, S. 176–177

Polyeder mit regelmäßigen Zehnecken Einige Polyeder haben regelmäßige Zehnecke als Seitenflächen, zum Beispiel der Dodekaederstumpf und das Große Rhombenkuboktaeder. Die genannten Polyeder sind archimedische Körper.

Vorkommen Architektur 350px|links|mini|Modell der Johanneskirche in Worms

Das Dekagon der Kirche St. Gereon in Köln, errichtet 1219–1927, hat hingegen zwei unterschiedliche Kantenlängen (die eine achtmal, die andere zweimal) und zwei unterschiedliche Winkel (den einen viermal, den anderen sechsmal), weil es auf einen ovalen antiken Unterbau gestellt wurde. Bekannte als Zehneck erkennbare Bauwerke sind unter anderem: Tempel der Minerva Medica Mausoleum des Theoderich Mausoleum der Familie Hohenlohe-Langenburg Mausoleum der Familie Cirksena St. Norbert (Düsseldorf) Wasserturm Emden Wasserturm Süd (Halle) St. Gereon (Köln), Nordrhein-Westfalen

Planeten 2026 wurde am Südpol des Saturns eine zehneckige Welle entdeckt. Weblinks

Definition und Eigenschaften eines Zehnecks. mathopenref.com; Mit interaktiver Animation (englisch).

Einzelnachweise

Kategorie:Polygon