Ein Differential (oder Differenzial) bezeichnet in der Analysis den linearisierten Anteil des Zuwachses einer Variablen oder einer Funktion und beschreibt einen unendlich kleinen Abschnitt auf der Achse eines Koordinatensystems. Historisch war der Begriff im 17. und 18. Jahrhundert der Kern der Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Ab dem 19. Jahrhundert wurde die Analysis durch Augustin Louis Cauchy und Karl Weierstraß auf der Grundlage des Grenzwertbegriffes mathematisch korrekt neu aufgebaut, und der Begriff des Differentials verlor für die elementare Differential- und Integralrechnung an Bedeutung.

Besteht eine funktionale Abhängigkeit mit einer differenzierbaren Funktion , dann lautet der grundlegende Zusammenhang zwischen dem Differential der abhängigen Variablen und dem Differential der unabhängigen Variablen

,

wobei die Ableitung von an der Stelle bezeichnet. Anstelle von schreibt man auch oder . Diese Beziehung lässt sich mit Hilfe partieller Ableitungen auf Funktionen mehrerer Variablen verallgemeinern und führt dann auf den Begriff des totalen Differentials.

Differentiale werden heute in verschiedenen Anwendungen in unterschiedlicher Bedeutung und auch mit unterschiedlicher mathematischer Strenge verwendet. Die in Standardschreibweisen wie für Integrale oder für Ableitungen auftretenden Differentiale werden heutzutage üblicherweise als bloßer Notationsbestandteil ohne eigenständige Bedeutung angesehen.

Eine strenge Definition liefert die in der Differentialgeometrie verwendete Theorie der Differentialformen, wo Differentiale als exakte 1-Formen interpretiert werden. Einen anders gearteten Zugang vermittelt die Nichtstandardanalysis, die den historischen Begriff der Infinitesimalzahl wieder aufgreift und im Sinne der modernen Mathematik präzisiert.

Einordnung In seinen 1924 erstmals erschienenen Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung schreibt Richard Courant, dass die Idee des Differentials als unendlich kleine Größe keine Bedeutung habe und es deshalb nutzlos sei, die Ableitung als Quotient zweier solcher Quantitäten zu definieren, dass man aber trotzdem versuchen könne, den Ausdruck als tatsächlichen Quotienten zweier Quantitäten und zu definieren. Dafür definiere man zunächst wie üblich als

und betrachte dann für ein festes den Zuwachs als eine unabhängige Variable. (Diese bezeichne man als .) Dann definiere man , womit man tautologisch bekomme.

In modernerer Terminologie kann man das Differential in als lineare Abbildung vom Tangentialraum in die reellen Zahlen auffassen. Dem „Tangentialvektor“ wird die reelle Zahl zugeordnet und diese lineare Abbildung ist per Definition das Differential . Also und insbesondere , woraus sich tautologisch die Beziehung ergibt.

Das Differential als linearisierter Zuwachs

Ist eine reelle Funktion einer reellen Variablen, so bewirkt eine Änderung des Arguments um von auf eine Änderung des Funktionswertes von auf ; für den Zuwachs des Funktionswerts gilt also

.

Ist beispielsweise eine (affin) lineare Funktion, also , so folgt . Das heißt, der Zuwachs des Funktionswerts ist in diesem einfachen Fall direkt proportional zum Zuwachs des Arguments und das Verhältnis entspricht gerade der konstanten Steigung von .

mini|300px|Das Differential als linearer Anteil des Zuwachses Bei Funktionen, deren Steigung nicht konstant ist, ist die Situation komplizierter. Ist an der Stelle differenzierbar, dann ist die Steigung dort gegeben durch die Ableitung , wobei diese als Grenzwert des Differenzenquotienten definiert ist:

.

Betrachtet man nun für die Differenz zwischen dem Differenzenquotienten und der Ableitung

,

so folgt für den Zuwachs des Funktionswertes

.

In dieser Darstellung wird zerlegt in einen Anteil , der linear von abhängt, und einen Rest, der von höherer als linearer Ordnung verschwindet, in dem Sinne, dass gilt. Der lineare Anteil des Zuwachses, der deshalb für kleine Werte von im Allgemeinen einen guten Näherungswert für darstellt, wird Differential von genannt und mit bezeichnet.

Definition

Es sei eine Funktion mit Definitionsbereich . Ist an der Stelle differenzierbar und , dann heißtHerbert Dallmann, Karl-Heinz Elster: Einführung in die höhere Mathematik. Band 1. 3. Auflage. Gustav Fischer Verlag, Jena 1991, ISBN 3-334-00409-0, S. 370.

das Differential von an der Stelle zum Argumentzuwachs . Statt schreibt man häufig auch . Gilt , so schreibt man auch anstelle von .

Für ein fest gewähltes ist das Differential also eine lineare Funktion, die jedem Argument den Wert zuordnet.

Beispielsweise für die identische Funktion , gilt also wegen die Gleichung und somitHerbert Dallmann, Karl-Heinz Elster: Einführung in die höhere Mathematik. Band 1. 3. Auflage. Gustav Fischer Verlag, Jena 1991, ISBN 3-334-00409-0, S. 371. in diesem Beispiel .

Differentiale höherer Ordnung

Ist an der Stelle -mal differenzierbar () und , so heißtHerbert Dallmann, Karl-Heinz Elster: Einführung in die höhere Mathematik. Band 1. 3. Auflage. Gustav Fischer Verlag, Jena 1991, ISBN 3-334-00409-0, S. 381.

das Differential -ter Ordnung von an der Stelle zum Argumentzuwachs . In diesem Produkt bezeichnet die -te Ableitung von an der Stelle und die -te Potenz der Zahl .

Die Bedeutung dieser Definition wird bei CourantCourant, op.cit., S. 107. wie folgt erklärt. Wenn man sich fest gewählt denkt, und zwar denselben Wert für verschiedene , also festgehalten, dann ist eine Funktion von , von der man wieder das Differential bilden kann (s. Abb.). Das Ergebnis ist das zweite Differential , man erhält es, indem man in (dem Zuwachs von ) den Term in Klammern durch seinen Linearteil ersetzt, womit also ist. Auf analoge Weise kann man die Definition von Differentialen höherer Ordnung motivieren. Es gilt dann entsprechend z. B. und allgemein .

Für ein fest gewähltes ist das Differential also wieder eine (für nicht-lineare) Funktion, die jedem Argument den Wert zuordnet.

Rechenregeln

Unabhängig von der verwendeten Definition gelten für Differentiale die folgenden Rechenregeln. Im Folgenden bezeichnen die unabhängige Variable, abhängige Variablen beziehungsweise Funktionen und eine beliebige reelle Konstante. Die Ableitung von nach wird geschrieben. Dann ergeben sich die nachfolgenden Rechenregeln aus der Beziehung

und den Ableitungsregeln. Die folgenden Rechenregeln für Differentiale von Funktionen sind so zu verstehen, dass jeweils die nach Einsetzen der Argumente erhaltenen Funktionen übereinstimmen sollen. Die Regel zum Beispiel besagt, dass man in jedem die Identität hat und dies bedeutet nach Definition, dass für alle reellen Zahlen die Gleichung gelten soll.

Konstante und konstanter Faktor und

Addition und Subtraktion ; und

Multiplikation

auch Produktregel genannt:

Wenn man durch uv dividiert, wird die Symmetrie plus zu minus bei der Division deutlicher:

Division

Wenn man durch dividiert, wird die Symmetrie minus zu plus bei der Multiplikation deutlicher:

Kettenregel

Ist abhängig von und von , also :und dann gilt .

Beispiele

Für und gilt bzw. . Es folgt .

Für und gilt und , also .

Erweiterung und Varianten Anstatt finden sich folgende Symbole, die Differentiale bezeichnen:

Mit (eingeführt von Condorcet, Legendre und dann Jacobi sieht man es in alter französischer Schreibschrift, oder als eine Variante des kursiven kyrillischen d) wird ein partielles Differential bezeichnet. Mit (dem griechischen kleinen Delta) wird eine virtuelle Verschiebung, die Variation eines Ortsvektors bezeichnet. Sie hängt also mit dem partiellen Differential nach den einzelnen Raumdimensionen des Ortsvektors zusammen. Mit wird ein inexaktes Differential bezeichnet.

Totales Differential

Das totale Differential oder vollständige Differential einer differenzierbaren Funktion in Variablen ist definiert durch .

Dies ist wieder interpretierbar als der lineare Anteil des Zuwachses. Eine Änderung des Arguments um bewirkt eine Änderung des Funktionswertes um , welche zerlegbar ist als , wobei der erste Summand das Skalarprodukt der beiden -elementigen Vektoren und darstellt und der Rest von höherer Ordnung verschwindet, also .

Virtuelle Verschiebung

Eine virtuelle Verschiebung ist eine fiktive infinitesimale Verschiebung des -ten Teilchens, die mit Zwangsbedingungen verträglich ist. Die Abhängigkeit von der Zeit wird nicht betrachtet. Aus dem totalen Differential   einer Funktion entsteht die gesuchte virtuelle Änderung . Der Begriff „instantan“ ist dadurch mathematisiert.

Die holonomen Zwangsbedingungen,  , werden durch Verwendung von sogenannter generalisierter Koordinaten erfüllt:

Die holonomen Zwangsbedingungen werden also durch Auswahl und entsprechende Reduzierung der generalisierten Koordinaten explizit eliminiert.

Stochastische Analysis In der stochastischen Analysis wird die Differentialschreibweise häufig angewendet, etwa zur Notation stochastischer Differentialgleichungen; sie ist dann stets als Kurzschreibweise für eine entsprechende Gleichung von Itō-Integralen aufzufassen. Ist beispielsweise ein stochastischer Prozess, der bezüglich eines Wiener-Prozesses Itō-integrierbar ist, dann wird die durch

gegebene Gleichung für einen Prozess in Differentialform als notiert. Die oben genannten Rechenregeln für Differentiale sind jedoch im Fall stochastischer Prozesse mit nichtverschwindender quadratischer Variation gemäß der Itō-Formel zu modifizieren.

Heutiger Zugang: Differentiale als 1-Formen

Die oben gegebene Definition des Differentials entspricht in heutiger Terminologie dem Begriff der exakten 1-Form .

Es sei eine offene Teilmenge des . Eine 1-Form oder Pfaffsche Form auf ordnet jedem Punkt eine Linearform zu. Derartige Linearformen heißen Kotangentialvektoren; sie sind Elemente des Dualraumes des Tangentialraumes . Eine pfaffsche Form ist also eine Abbildung

Das totale Differential oder die äußere Ableitung einer differenzierbaren Funktion ist die pfaffsche Form, die folgendermaßen definiert ist: Ist ein Tangentialvektor, so ist:

also gleich der Richtungsableitung von in Richtung . Ist also ein Weg mit und , so ist

Mit Hilfe des Gradienten und des Standard-Skalarproduktes lässt sich das totale Differential von durch

darstellen.

Für erhält man insbesondere das Differential von Funktionen .

Differentiale in der Integralrechnung

Anschauliche Erklärung Um den Flächeninhalt eines Bereiches zu berechnen, der von dem Graphen einer Funktion , der -Achse und zwei dazu senkrechten Geraden und eingeschlossen wird, unterteilte man die Fläche in Rechtecke der Breite , die „unendlich schmal“ gemacht werden, und der Höhe . Ihr jeweiliger Flächeninhalt ist das „Produkt“ , der gesamte Flächeninhalt also die Summe

wobei hier wieder eine endliche Größe ist, die einer Unterteilung des Intervalls entspricht. Siehe genauer: Mittelwertsatz der Integralrechnung. Es gibt im Intervall einen festen Wert , dessen Funktionswert multipliziert mit der Summe der endlichen des Intervalls den Wert des Integrals dieser einen stetigen Funktion wiedergibt:

Das Gesamtintervall des Integrals muss nicht gleichmäßig unterteilt sein. Die Differentiale an den unterschiedlichen Unterteilungsstellen können verschieden groß gewählt sein, die Wahl der Unterteilung des Integrationsintervalls hängt oft von der Art des Integrationsproblems ab. Zusammen mit dem Funktionswert innerhalb des „differentiellen“ Intervalls (beziehungsweise des Maximal- und Minimalwerts darinnen entsprechend Ober- und Untersumme) bildet sich eine Flächengröße; man macht den Grenzwertübergang in dem Sinne, dass man die Unterteilung von immer feiner wählt. Das Integral ist eine Definition für eine Fläche mit Begrenzung durch ein Kurvenstück.

Formale Erklärung

Es sei eine integrierbare Funktion mit Stammfunktion . Das Differential

ist eine 1-Form, die nach den Regeln der Integration von Differentialformen integriert werden kann. Das Ergebnis der Integration über ein Intervall ist genau das Lebesgue-Integral .