Das Kriterium von Dirichlet ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für Reihen. Es gehört zur Gruppe der direkten Kriterien.

Dirichlet-Kriterium für Konvergenz Kriterium

Die Reihe

mit konvergiert, wenn eine monoton fallende Nullfolge ist und die Folge der Partialsummen

beschränkt ist.

Beweis

Es gilt (siehe Partielle Summation)

.

Der erste Summand konvergiert gegen null, da voraussetzungsgemäß durch eine Konstante beschränkt ist und gegen null konvergiert. Der zweite Summand konvergiert sogar absolut, denn für alle und damit

.

Damit ist alles gezeigt.

Dirichlet-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz

Die Reihe

ist im Intervall gleichmäßig konvergent, wenn dort die Partialsummen der Reihe gleichmäßig beschränkt sind und wenn dort die Folge gleichmäßig gegen null konvergiert, und zwar für jedes feste monoton.

Siehe auch Kriterium von Abel Leibniz-Kriterium (behandelt den Spezialfall )

Einzelnachweise

Dirichlet Kategorie:Peter Gustav Lejeune Dirichlet