Um das Verhalten eines Bipolartransistors oder Feldeffekttransistors auch in komplexen Schaltungen berechnen zu können, benötigt man ein vereinfachtes, abstraktes Modell. Es gibt verschiedene Stufen der Abstraktion. Meist werden zur Dimensionierung einfache Modelle verwendet, für die Schaltungssimulation komplexere Modelle bzw. deren Ersatzschaltbild.
Theoretisch wäre auch eine exakte Berechnung des physikalischen Verhaltens, beispielsweise über eine Monte-Carlo-Simulation möglich, aber schon in relativ einfachen elektrischen Netzwerken übersteigt der Rechenaufwand einer solchen Simulation die Leistung heutiger Computer. Die Modelle dienen daher zur Vereinfachung und hinreichenden Nachbildung der realen Abläufe, um so den Rechenaufwand drastisch zu reduzieren.
Eine weitere Vereinfachung kann durch die Nutzung unterschiedlicher Modelle für den statischen und den dynamischen Betrieb erreicht werden. Erstere dienen zur gleichstrommäßigen Dimensionierung, und damit vor allem zur Berechnung der korrekten Arbeitspunkteinstellung, sowie für niederfrequente Logikschaltungen (z. B. TTL). Modelle für den dynamischen Betrieb dienen der wechselstrommäßigen Dimensionierung und damit zur Berechnung von Schaltungen für die Signalübertragung und Signalverarbeitung.
Der vorliegende Artikel beschäftigt sich ausschließlich mit der Modellierung des Bipolartransistors, für Informationen über den Aufbau und die Verwendung von Bipolartransistoren wird auf den Hauptartikel verwiesen.
Formelzeichen Im Folgenden werden die hier verwendeten Formelzeichen aufgelistet. Für weitere Formelzeichen siehe auch die mathematische Beschreibung.
Zeichen Beschreibung Idealer Basisstrom der Emitter-Diode Idealer Basisstrom der Kollektor-Diode Basis-Leckstrom der Emitter-Diode Basis-Leckstrom der Kollektor-Diode Kollektor-Emitter-Transportstrom Strom der Substrat-Diode Basiswiderstand Kollektorbahnwiderstand Emitterwiderstand Sperrschichtkapazität der Emitter-Diode Interne Sperrschichtkapazität der Kollektor-Diode Externe Sperrschichtkapazität der Kollektor-Diode Sperrschichtkapazität der Substrat-Diode Diffusionskapazität der Emitter-Diode Diffusionskapazität der Kollektor-Diode
Formelzeichen für das statische und dynamische Verhalten + Formelzeichen für das statische Verhalten Zeichen Beschreibung Sättigungssperrstrom Sättigungssperrstrom der Substrat-Diode Ideale Stromverstärkung im Normalbetrieb Ideale Stromverstärkung im Inversbetrieb Leck-Sättigungssperrstrom der Emitter-Diode Leck-Sättigungssperrstrom der Kollektor-Diode Emissionskoeffizient der Emitter-Diode Emissionskoeffizient der Kollektor-Diode Kniestrom zur starken Injektion im Normalbetrieb Kniestrom zur starken Injektion im Inversbetrieb Temperaturspannung (ca. 26 mV bei Raumtemperatur) Early-Spannung im Normalbetrieb Early-Spannung im Inversbetrieb Externer Bahnwiderstand Interner Bahnwiderstand1) 1) wird in PSpice aus der Gleichung berechnet.+ Formelzeichen für das dynamische Verhalten Zeichen Beschreibung Null-Kapazität der Emitter-Diode Null-Kapazität der Kollektor-Diode Null-Kapazität der Substrat-Diode Diffusionsspannung der Emitter-Diode Diffusionsspannung der Kollektor-Diode Diffusionsspannung der Substrat-Diode Kapazitätskoeffizient der Emitter-Diode Kapazitätskoeffizient der Kollektor-Diode Kapazitätskoeffizient der Substrat-Diode Aufteilungskoeffizient der Kapazität in der Kollektor-Diode Koeffizient für den Kapazitätsverlauf Ideale Transitzeit im Normalbetrieb Ideale Transitzeit im Inversbetrieb Transitzeitkoeffizient im Normalbetrieb Transitzeitkoeffizient im Inversbetrieb Transitzeitspannung im Normalbetrieb Transitzeitspannung im Inversbetrieb Transitzeitstrom im Normalbetrieb Transitzeitstrom im Inversbetrieb
Weitere Formelzeichen + Formelzeichen für das thermische Verhalten Zeichen Beschreibung Temperaturkoeffizient der Sperrströme Temperaturkoeffizient der Stromverstärkung
Englische Bezeichnung Da Datenblätter meist in Englisch verfasst sind, muss man auch die verwendeten Formelzeichen übersetzen können. Im Wesentlichen sind dies:
Deutsch Englisch Bezeichnung Zeichen Bezeichnung Zeichen Spannung U voltage V Normalbetrieb N forward region F Inversbetrieb I reverse region R Sperrschicht S junction J
Die anderen Bezeichnungen können beibehalten werden.
Modelle für das statische Verhalten Ebers-Moll-Modell mini|Ebers-Moll-Modell eines npn-Transistors
Das Ebers-Moll-Modell (nach John Lewis Moll und Jewell James Ebers, 1954) ist das einfachste Modell für den Bipolartransistor. Es hat nur drei Parameter und beschreibt damit die wichtigsten Effekte. Das Ebers-Moll-Modell wird mit Hilfe eines Dioden-Ersatzschaltbildes dargestellt.
Ein npn-Transistor besteht aus zwei antiseriellen pn-Übergängen (Dioden) mit gemeinsamer p-Zone. Diese Übergänge werden als Emitter-Diode (Basis-Emitter-Diode; BE-Diode) und Kollektor-Diode (Basis-Kollektor-Diode; BC-Diode) bezeichnet. Durch die dünne Basis (p-Zone) im Bipolartransistor fließt der Großteil des Stromes über den Emitter ab. Daher besteht das Ebers-Moll-Modell zusätzlich zu den beiden Dioden aus zwei gesteuerten Stromquellen, die den Stromfluss durch die Basis beschreiben. Die Stromquellen verhalten sich genauer gesagt als Stromsenken. Damit sich ausbilden kann, ist der Transistor in einem geeigneten Stromkreis zu betreiben, den eine tatsächlich existierende Energiequelle speist. Für den pnp-Transistor werden die Vorzeichen einfach umgedreht.
Zusätzlich wird noch ein Steuerfaktor für den Normalbetrieb sowie den Inversbetrieb verwendet, um den unsymmetrischen Aufbau eines realen npn-Transistors zu berücksichtigen.
Im Normalbetrieb sperrt die BC-Diode da und kann deshalb vernachlässigt werden. Zusätzlich kann die zugehörige Exponentialfunktion durch −1 ersetzt werden, da ist. Umgekehrt sperrt im Inversbetrieb die BE-Diode, wodurch man auch in diesem Fall eine Vereinfachung der Gleichung auf dieselbe Weise erhält.
+ Reduzierte Ebers-Moll-Modelle für den npn-Transistor Normalbetrieb Inversbetrieb Datei:Ebers-Moll-Model (reduced, forward region).svg Datei:Ebers-Moll-Model (reduced, inverse region).svg
Ebers-Moll-Modell im Sättigungsbetrieb Wenn man den Bipolartransistor als Schalter einsetzt, kommt dieser vom Normalbetrieb in den Sättigungsbetrieb. Hier ist vor allem die minimal erreichbare Kollektor-Emitter-Spannung interessant. Aufgelöst für diese Spannung erhält man die Gleichung
Bei gilt . Das Minimum erhält man bei :
Für den Inversbetrieb vertauscht man Emitter und Kollektor. Dadurch erhält man für die Sättigung mit :
Da gilt . Dabei gilt üblicherweise und .
Transportmodell mini|Transportmodell eines npn-Transistors
Durch die Umformung der beiden Stromquellen des Ebers-Moll-Modells in eine einzige gesteuerte Stromquelle erhält man das Transportmodell des Bipolartransistors. Das Transportmodell beschreibt das Gleichstromverhalten. Emitter- und Kollektor-Diode werden dabei als ideal angenommen und der durch die Basis fließende Strom wird als Transportstrom getrennt berechnet. Für das Transportmodell gelten die folgenden Gleichungen:
mini|Vereinfachtes Transportmodell für den Normalbetrieb eines npn-Transistors
Da für den Normalbetrieb die Sperrströme vernachlässigt werden können, erhält man das reduzierte Transportmodell mit:
Modellierung statischer Effekte im Transportmodell mini|Erweitertes Transportmodell eines npn-Transistors
Um das statische Verhalten des Bipolartransistors besser modellieren zu können, muss das Transportmodell entsprechend erweitert werden. Dabei sind vor allem die folgenden Effekte zu berücksichtigen: Leckströme Hochstromeffekt Early-Effekt
Für das um diese Effekte erweiterte Transportmodell gelten im Allgemeinen die Zusammenhänge:
was sich aus den im Weiteren erläuterten Formeln ergibt.
Leckströme Die Leckströme, die durch die Ladungsträgerrekombination in den pn-Übergängen erzeugt werden, werden zu den jeweiligen Strömen der Kollektor- und der Emitter-Diode hinzuaddiert. Das wird erreicht, indem man den Dioden im Transportmodell jeweils eine weitere Diode parallelschaltet. Diese zusätzlichen Dioden werden über die Leck-Sättigungs-Sperrströme und , sowie über die Emissionskoeffizienten und beschrieben.
Hochstrom- und Early-Effekt Wenn der Strom durch den Transistor sehr stark ist, ist der Transportstrom eines realen Transistors durch die hohe Ladungsträgerkonzentration in der Basis kleiner als durch das Grundmodell dargestellt. Dieser Effekt wird auch als Hochstromeffekt bzw. als starke Injektion bezeichnet.
Zusätzlich beeinflussen die Spannungen und die effektive Dicke der Basiszone und wirken sich somit auf den Transportstrom aus. Dieser Effekt ist als Early-Effekt bekannt.
Der Hochstrom- und der Early-Effekt wird durch die dimensionslose Größe dargestellt.
ist dabei die relative Majoritätsträgerladung und setzt sich aus der Größe des Early-Effekts und der Größe des Hochstromeffektes zusammen:
und sind die Early-Spannungen mit . und sind die Knieströme der starken Injektion. Die Größe der Knieströme ist von der Größe und damit der Bauform des Transistors abhängig und liegen im Milliampere- (Kleinleistungtransitor) bis Amperebereich (Leistungstransistor).
Hochstrom- und Early-Effekt im Normalbetrieb mini|Gummel-Plot mit UCE = konst.
Bei der Betrachtung des Kollektorstromes kommt die Auswirkung des Faktors besonders zur Geltung. Unter Vernachlässigung der Sperrströme erhält man:
Bei kleinen bis mittleren Stromgrößen gilt und somit . Zusätzlich gilt
da . Somit erhält man eine Näherungsgleichung für den Early-Effekt:
und durch Einsetzen in erhält man:
Bei großen Strömen ist und somit . Durch Einsetzen erhält man:
Unter Vernachlässigung der Sperrströme erhält man für die Gleichung
Stromverstärkung Für die Stromverstärkung B gilt der Zusammenhang
Zudem ist die Stromverstärkung B von UBE und UCE abhängig, da auch IC und qB von diesen Spannungen abhängig sind.
Der Verlauf der Stromverstärkung wird zur Näherung in drei Abschnitte unterteilt:
1. Leckstrombereich Bei kleinen Kollektorströmen dominiert der Leckstromanteil IB,E im Basisstrom IB. Dieser Bereich wird folglich als Leckstrombereich bezeichnet. In diesem Bereich gilt aufgrund der Dominanz des Leckstromes die Näherung und . Daraus ergibt sich die Vereinfachung:
Mit erhält man . Damit ist die Verstärkung B in diesem Bereich kleiner als bei mittelgroßen Kollektorströmen und wird mit steigendem Kollektorstrom ebenfalls größer.
2. Normalbereich Bei mittleren Kollektorströmen gilt die Näherung und daraus folgend:
Daraus ergibt sich ein maximaler Wert, sowie nur eine geringe Abhängigkeit von , für die Verstärkung B in diesem Bereich. Deshalb werden Transistoren bevorzugt in diesem Bereich betrieben.
3. Hochstrombereich Bei großen Kollektorströmen kommt es zum Hochstromeffekt. Über den Zusammenhang erhält man den Zusammenhang:
Die Stromverstärkung B ist somit indirekt proportional zu IC, was bedeutet, dass die Stromverstärkung mit steigendem Kollektorstrom stark abnimmt.
gerahmt|Abhängigkeit der Verstärkung B vom Kollektorstrom IC in doppellogarithmischer Darstellung bei konstanter Kollektor-Emitter-Spannung UCE
Die maximale Stromverstärkung bei konstanter Kollektor-Emitter-Spannung wird mit Bmax(UCE) bezeichnet. Für Transistoren mit großem Kniestrom IK,N und kleinem Leckstrom IS,E ist der Normalbereich so breit, dass der tatsächliche Verlauf von B mit der Näherungsgeraden in diesem Bereich eine Tangente bildet. Im Schnittpunkt gilt Bmax(UCE) = B0,max = BN, wobei B0,max bei UCE = 0 auftritt. Bei Transistoren mit kleinem Kniestrom und großem Leckstrom hingegen fällt der Normalbereich sehr schmal aus, wobei die Verstärkung unterhalb der Näherungsgeraden bleibt und damit B < BN gilt.
Bahnwiderstände mini|Um Bahnwiderstände erweitertes Transportmodell mini|Lage der Bahnwiderstände im Halbleiter des Bipolartransistors