Eine Nephroide (aus altgriechisch ὁ νεφρός ho nephros, „die Niere“, nach ihrer Gestalt) ist eine algebraische Kurve 6. Grades. Die Nephroide entsteht durch Abrollen eines Kreises mit dem Radius auf der Außenseite eines Kreises mit dem Radius . Damit gehört die Nephroide in die Klasse der Epizykloiden.
Gleichungen einer Nephroide mini|Nephroide: Definition
Ist der Radius des kleinen (rollenden) Kreises und der Mittelpunkt und Radius des großen (festen) Kreises, der Rollwinkel (des kleinen Kreises) und der Punkt der Startpunkt (s. Bild), so erhält man die Parameterdarstellung:
.
Einsetzen der Parameterdarstellung in die Gleichung
beweist, dass sie die zugehörige implizite Darstellung ist.
Beweis der Parameterdarstellung Der Beweis der Parameterdarstellung lässt sich mit Hilfe komplexer Zahlen und ihre Darstellung als Gaußsche Zahlenebene leicht führen. Die Rollbewegung des schwarzen Kreises auf dem blauen Kreis kann man in die Hintereinanderausführung zweier Drehungen zerlegen. Die Drehung eines Punktes (komplexe Zahl) um den Nullpunkt mit dem Winkel wird durch die Multiplikation mit bewirkt. Die Drehung um den Punkt um den Winkel ist . Die Drehung um den Punkt um den Winkel ist . Ein Nephroidenpunkt entsteht durch Drehung des Punktes mit und anschließende Drehung mit : . Hieraus ergibt sich
(Es wurden die Formeln benutzt. Siehe Formelsammlung Trigonometrie.) Beweis der impliziten Darstellung Mit
ergibt sich
andere Orientierung Falls die Spitzen auf der y-Achse liegen: Parameterdarstellung:
Gleichung:
mini|hochkant=1.4|Eine verkürzte Nephroide
Flächeninhalt, Kurvenlänge und Krümmungsradius Für die obige Nephroide ist die Kurvenlänge , und der Flächeninhalt der Krümmungsradius
Die Beweise verwenden die Parameterdarstellung
der obigen Nephroide und ihre Ableitungen
Formeln für den Flächeninhalt und die Kurvenlänge findet man z. B. hier.Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 1. Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-59188-5, S. 194, 200.
Beweis für die Kurvenlänge Mit der Formel für die Länge einer parametrisierten Kurve ergibt sich .
Beweis für den Flächeninhalt (mit der Leibniz-Sektorformel) .
Beweis für den Krümmungsradius
mini|Nephroide als Einhüllende einer Kreisschar
Nephroide als Einhüllende einer Kreisschar Es gilt: Ist ein Kreis und Punkte eines Durchmessers , so ist die Einhüllende der Schar von Kreisen, deren Mittelpunkte auf liegen und den Durchmesser berühren, eine Nephroide mit den Spitzen .
Beweis Es sei der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Der nötige Durchmesser liege auf der x-Achse (s. Bild). Die Kreisschar ist:
Die Einhüllendenbedingung ist
Man rechnet nach, dass der Nephroidenpunkt die beiden Gleichungen erfüllt und damit ein Punkt der Einhüllenden der Kreisschar ist.
mini|Nephroide als Einhüllende einer Geradenschar: Die Tangenten der Nephroide sind Sehnen eines Kreises. Die Sehnen verlaufen jeweils zwischen Punkt n und Punkt 3n auf der Kreisbahn, die gleichmäßig in einer Anzahl von Schritten unterteilt ist, die einem Vielfachem von 3 entspricht. mini|Nephroide als Einhüllende einer Geradenschar: Die Tangenten der Nephroide sind Sehnen eines Kreises
Nephroide als Einhüllende einer Geradenschar Ähnlich der Erzeugung einer Kardioide als Einhüllende einer Geradenschar gilt hier: Zeichne einen Kreis, unterteile ihn gleichmäßig mit Punkten (s. Bild) und nummeriere diese fortlaufend. Zeichne die Sehnen: . (Man kann es so ausdrücken: Der zweite Punkt der Sehne bewegt sich mit dreifacher Geschwindigkeit.) Die Einhüllende dieser Strecken ist eine Nephroide.
Beweis Im Folgenden werden die trigonometrischen Formeln für
verwendet. Um die Rechnungen einfach zu halten, wird der Beweis für die Nephroide mit den Spitzen auf der y-Achse geführt. Gleichung der Tangente an die Nephroide mit der Parameterdarstellung : Aus der Parameterdarstellung berechnet man zunächst den Normalenvektoren . Die Gleichung der Tangente ist dann:
Für hat die Nephroide ihre Spitzen, wo sie keine Tangente besitzt. Für kann man durch dividieren und erhält schließlich
Gleichung der Sekante an den Kreis mit Mittelpunkt und Radius : Für die Gleichung der Sekante durch die beiden Punkte ergibt sich:
Für artet die Sekante zu einem Punkt aus. Für kann man durch dividieren und es ergibt sich die Gleichung der Sekante:
Die beiden Winkel haben zwar verschiedene Bedeutungen ( ist der halbe Rollwinkel, ist der Parameter des Kreises, dessen Sekanten berechnet werden), für ergibt sich aber dieselbe Gerade. Also ist auch jede obige Sekante an den Kreis eine Tangente der Nephroide und die Nephroide ist die Einhüllende der Kreissehnen.
250px|mini|Nephroide als Kaustik eines Kreises: Prinzip 250px|mini|Nephroide als Kaustik eines Halbkreises
Nephroide als Kaustik eines Halbkreises Die vorigen Überlegungen liefern auch einen Beweis dafür, dass als Kaustik eines Halbkreises eine Nephroide auftritt:
Fallen in der Ebene parallele Lichtstrahlen in einen spiegelnden Halbkreis gemäß der Abbildung, so sind die reflektierten Lichtstrahlen die Tangenten einer Nephroide. (s. Abschnitt: Nephroide im täglichen Leben)
Beweis Der Kreis habe (wie im vorigen Abschnitt) den Nullpunkt als Mittelpunkt und sein Radius sei . Der Kreis hat dann die Parameterdarstellung
Die Tangente im Kreispunkt hat den Normalenvektor . Der reflektierte Strahl muss dann (laut Abbildung) den Normalenvektor haben und durch den Kreispunkt gehen. Der reflektierte Strahl liegt also auf der Gerade mit der Gleichung
die wiederum die Tangente an die Nephroide des vorigen Abschnitts im Punkt
ist (s. oben).
Evolute einer Nephroide 300px|mini|Nephroide (rot) und ihre Evolute (grün), magenta: ein Punkt P, sein Krümmungsmittelpunkt M und der zugehörige Krümmungskreis
Die Evolute einer ebenen Kurve ist der geometrische Ort aller Krümmungsmittelpunkte dieser Kurve. Für eine parametrisierte Kurve mit Krümmungsradius hat die Evolute die Parameterdarstellung
wobei die geeignet orientierte Einheitsnormale ist. ( zeigt zu dem Krümmungsmittelpunkt hin.)
Für eine Nephroide im Bild gilt: Die Evolute einer Nephroide ist wieder eine Nephroide, halb so groß.
Beweis Die Nephroide im Bild (die Spitzen liegen auf der y-Achse !) hat die Parameterdarstellung
ist die Einheitsnormale (s. oben) und hat den Krümmungsradius (s. oben) . Also hat die Evolute die Parameterdarstellung
Diese Gleichungen beschreiben eine Nephroide, die halb so groß und um 90 Grad gedreht ist (s. Bild und den Abschnitt Gleichungen einer Nephroide).
mini|Inversion (grün) einer Nephroide (rot) am blauen Kreis
Inversion (Kreisspiegelung) einer Nephroide Die Spiegelung
am Kreis mit Mittelpunkt und Radius bildet die Nephroide mit der Gleichung
auf die Kurve 6. Grades mit der Gleichung
ab (siehe Bild).
Nephroide im täglichen Leben gerahmt
Fällt Licht einer unendlich weit entfernten Lichtquelle seitlich auf eine konkave, kreisförmige reflektierende Oberfläche, so bildet die Einhüllende der Lichtstrahlen einen Teil einer Nephroide. Manchmal wird sie daher auch „Kaffeetassenkaustik“ (Kaustik = Brennlinie) genannt. Man kann sie auch auf der Straße beobachten, wenn die blanken Felgen eines Fahrrades das Licht auf den Boden reflektieren: Da das Sonnenlicht den Zylindermantel der Fahrradfelge parallel trifft, bildet sich eine Brennfläche, deren Profil die Form einer halben Nephroide hat und die, wenn man sich leicht in die Kurve legt, mit dem ebenen Untergrund einen Teil einer Nephroide als Schnittfigur bildet.
Siehe auch Kardioide
Literatur
D. Arganbright: Practical Handbook of Spreadsheet Curves and Geometric Constructions. CRC Press, 1993, ISBN 0-8493-8938-0, S. 54. F. Borceux: A Differential Approach to Geometry: Geometric Trilogy III. Springer, 2014, ISBN 978-3-319-01735-8, S. 148. E. H. Lockwood: A Book of Curves. Cambridge University Press, 1978, ISBN 0-521-05585-7, S. 7.
Weblinks
Mathworld nephroid mathcurve: nephroid Xahlee: nephroid
Kategorie:Algebraische Varietät