mini|Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks

In der Mathematik ist ein konstruierbares Polygon ein regelmäßiges Polygon, das mit Zirkel und (unmarkiertem) Lineal – den Euklidischen Werkzeugen – konstruiert werden kann. Zum Beispiel ist das regelmäßige Fünfeck konstruierbar, das regelmäßige Siebeneck hingegen nicht.

Konstruierbarkeit mini|310px|Anwendungsbeispiel Höhensatz Durch die Ergänzung der konstruierten Zahl mit = 1 ist mittels Thaleskreis konstruierbar. Zahlenbeispiel: Um den Begriff „mit Zirkel und Lineal konstruierbar“ mathematisch präzise zu erfassen, muss definiert werden, was mit diesen Werkzeugen möglich ist. Wir gehen davon aus, dass am Anfang einer jeden Konstruktion zwei Punkte gegeben sind. Mit dem Lineal kann man dann eine Gerade durch zwei Punkte konstruieren, mit dem Zirkel einen Kreis durch einen Punkt um einen anderen Punkt als Mittelpunkt. Außerdem seien die Schnittpunkte von Geraden und Kreisen konstruierbar.

Aus diesen Grundkonstruktionen lassen sich eine Reihe weiterer Konstruktionen ableiten, wie die Konstruktion einer Mittelsenkrechte oder das Fällen eines Lotes. Man nennt dann eine positive reelle Zahl konstruierbar, wenn man zwei Punkte konstruieren kann, sodass der euklidische Abstand zwischen ihnen gleich dem Betrag dieser Zahl ist (wobei der Abstand zweier vorgegebener Punkte als 1 definiert wird). Ist beispielsweise die Zahl konstruierbar, so kann man mit Hilfe des Höhensatzes zwei Punkte mit Abstand konstruieren. Sind zwei Zahlen und konstruierbar, so mit Hilfe des Strahlensatzes auch deren Produkt und der Kehrwert , sowie durch Abgreifen eines Abstandes deren Summe und Differenz .→ Siehe zu den algebraische Operationen auch den Artikel Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Ein Winkel heiße konstruierbar, wenn die Zahl konstruierbar ist; der Sinn dieser Definition erschließt sich schnell durch Betrachten des Einheitskreises.

Um nun ein regelmäßiges -Eck zu konstruieren, genügt es, den Zentriwinkel zu konstruieren, denn wenn man den Mittelpunkt des -Ecks und eine Ecke gegeben hat, lässt sich ausgehend von der Verbindungsgeraden durch Mittelpunkt und Eckpunkt der nächste Eckpunkt konstruieren. Ist umgekehrt ein regelmäßiges -Eck gegeben, so kann man den Zentriwinkel abgreifen. Zur Beantwortung der Frage, ob das -Eck konstruierbar ist, ist man also auf den Fall zurückgeführt, zu entscheiden, ob der Zentriwinkel konstruierbar ist.

Konstruierbarkeit von Zahlen Eine Zahl heißt genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn sie z. B. eine ganze Zahl, eine Dezimalzahl mit endlicher Anzahl Nachkommastellen oder die positive Wurzel aus einer dieser Zahlen (siehe Anwendungsbeispiel Höhensatz) ist, genauer gesagt die Länge einer Strecke ist, die wie hier beschrieben konstruiert werden kann.

In der synthetischen Geometrie werden auch Punkte und Zahlen untersucht, die etwas allgemeiner aus einer (fast) beliebigen Vorgabemenge von Streckenlängen konstruiert werden können. Dazu werden Körpererweiterungen der rationalen Zahlen betrachtet, die euklidische Körper und damit Koordinatenkörper einer euklidischen Ebene (im Sinne der synthetischen Geometrie) sind. Die Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal einer Zahl bedeutet dann, dass sie eine Koordinate eines aus den Vorgaben konstruierbaren Punktes in der Ebene ist. → Siehe zu diesen Begriffsbildungen auch den Artikel euklidischer Körper!

Kriterium für Konstruierbarkeit Carl Friedrich Gauß zeigte 1796, dass das regelmäßige Siebzehneck konstruierbar ist. Dazu wies er nach, dass die Zahl als Ausdruck dargestellt werden kann, der nur ganze Zahlen, arithmetische Grundoperationen und verschachtelte Quadratwurzeln enthält. Durch die in seinen Disquisitiones Arithmeticae entwickelte Theorie gelang es Gauß fünf Jahre später, eine hinreichende Bedingung für die Konstruktion regelmäßiger Polygone anzugeben: Wenn das Produkt einer Potenz von 2 mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist, dann ist das regelmäßige -Eck konstruierbar. Gauß wusste zwar, dass die Bedingung auch notwendig ist, hat allerdings seinen Beweis hierfür nicht veröffentlicht. Pierre-Laurent Wantzel holte dies 1837 nach, weshalb das Resultat auch als Satz von Gauß-Wantzel bekannt ist.

Man kann zeigen, dass eine Zahl genau dann das Produkt einer Potenz von 2 mit verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist, wenn eine Potenz von 2 ist. Hierbei bezeichnet die Eulersche φ-Funktion.

Zusammenfassend: Für eine Zahl sind die folgenden Aussagen äquivalent: Das regelmäßige -Eck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar. mit und paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen . Dabei steht das für m=0 sich ergebende leere Produkt definitionsgemäß für die Zahl 1. für ein .

Sind insbesondere und teilerfremd und sowohl das -Eck als auch das -Eck konstruierbar, so ist wegen auch das -Eck konstruierbar. Für diese Tatsache lässt sich auch direkt die geometrische Konstruktion angeben, denn wenn und teilerfremd sind, so gibt es nach dem Lemma von Bézout zwei ganze Zahlen und mit Indem man nun -mal den Zentriwinkel des -Ecks und -mal den Zentriwinkel des -Ecks anlegt, hat man den Winkel – und damit auch das -Eck – konstruiert.

Konkrete Konsequenzen des Kriteriums

Trotz intensiver Suche wurden über die fünf bereits Gauß bekannten Fermatschen Primzahlen 3, 5, 17, 257 und 65537 hinaus bis heute keine weiteren gefunden. Es besteht sogar die plausible Vermutung, dass es keine weiteren Fermatschen Primzahlen gibt. Sollte es tatsächlich nur fünf Fermatsche Primzahlen (FP) geben, dann sind unter den Polygonen mit ungerader (!) Eckenzahl genau die folgenden 31 theoretisch konstruierbar:

Eckenzahl Produkt FP 3 5 15 17 51 85 255 Eckenzahl Produkt FP 257 771 1.285 3.855 4.369 13.107 21.845 65.535 Eckenzahl Produkt FP 65.537 196.611 327.685 983.055 1.114.129 3.342.387 5.570.645 16.711.935 Eckenzahl Produkt FP 16.843.009 50.529.027 84.215.045 252.645.135 286.331.153 858.993.459 1.431.655.765 4.294.967.295

Alle anderen konstruierbaren Polygone (dann mit gerader Eckenzahl) sind das Quadrat oder sie ergeben sich durch (fortgesetztes) Verdoppeln der Eckenzahl.

Für das Dreieck, Fünfeck, Siebzehneck, 257-Eck und selbst für das 65537-Eck sind Konstruktionsanweisungen bekannt. Damit liegen nur für diese ungeraden Polygone Konstruktions­anweisungen vor. Im November 1879 begann Johann Gustav Hermes sein Werk zum 65537-Eck. Mehr als zehn Jahren danach übergab er an das Mathematische Institut der Universität Göttingen einen Koffer mit einem Manuskript. Darin beschrieb und bewies er die theoretisch mögliche Konstruktion des 65537-Ecks allein mit Zirkel und Lineal.

Lässt man zur Konstruktion zusätzlich ein Hilfsmittel zur Dreiteilung eines Winkels (Trisektion) zu, so sind alle regelmäßigen Polygone mit Eckenzahlen der Form konstruierbar, wobei mit verschiedene Pierpont-Primzahlen größer als drei der Form sind. Auf diese Weise sind beispielsweise auch das Siebeneck Original aus dem Archiv regeneriert am 31. Januar 2016, das Neuneck und das Dreizehneck konstruierbar.

Werden als zusätzliche Hilfsmittel z. B. die Quadratrix des Hippias, die archimedische Spirale oder die Sinuskurve akzeptiert, die neben der Dreiteilung auch Teilungen in gleich große Winkel ermöglichen, wie das Beispiel Neunzehneck zeigt, sind theoretisch sämtliche regelmäßige Polygone konstruierbar.

Daraus folgt: Lässt man als zusätzliches Hilfsmittel nur die Dreiteilung eines Winkels (Trisektion) zu, ergibt sich für regelmäßige Polygone bis zum 1000-Eck folgende Tabelle für die Konstruktion mit Zirkel und Lineal (J), bzw. zusätzlich Trisektion (T) oder nicht (N):