Das Trinomial Triangle (, etwa Trinomiales Dreieck) ist eine Abwandlung zum Pascalschen Dreieck. Der Unterschied besteht darin, dass ein Eintrag die Summe der drei (statt wie im originalen Pascalschen Dreieck der zwei) darüberstehenden Einträge ist. Bisher hat sich wegen der geringen mathematischen Relevanz kein allgemein anerkannter deutscher Begriff durchsetzen können; ein Beispiel für einen praktisch verwendeten Begriff ist „Pascalsches 3-arithmetisches Dreieck“.Jewgeni Gik: Schach und Mathematik. Reinhard Becker Verlag, 1986, ISBN 3-930640-37-6, Seite 79
Für den -ten Eintrag in der -ten Zeile hat sich die Bezeichnung
etabliert. Die Zeilen werden dabei mit beginnend gezählt, die Einträge in der -ten Zeile mit beginnend bis . Der mittlere Eintrag hat also Index , und die Symmetrie wird durch die Formel
ausgedrückt.
Eigenschaften Die -te Zeile entspricht den Koeffizienten der Polynomentwicklung der -ten Potenz von , also eines speziellen Trinoms:
oder symmetrisch .
Daraus ergibt sich auch die Bezeichnung Trinomialkoeffizienten und die Beziehung zu den Multinomialkoeffizienten:
Des Weiteren sind interessante Folgen in den Diagonalen enthalten, etwa die Dreieckszahlen.
Die Summe der Elemente der -ten Zeile ist .
Die alternierende Summe jeder Zeile ergibt Eins: .
Formal folgen beide Formeln aus der ersten Formel für x=1 und x=-1.
Rekursionsformel Die Trinomialkoeffizienten lassen sich mit folgender Rekursionsformel berechnen: , für , wobei für und zu setzen ist. Die mittleren Einträge
Die Folge der mittleren Einträge () 1, 1, 3, 7, 19, 51, 141, 393, 1107, 3139, … wurde bereits von Euler untersucht: Sie ist explizit gegeben durch
Die zugehörige erzeugende Funktion ist
Euler bemerkte auch das exemplum memorabile inductionis fallacis (bemerkenswertes Beispiel trügerischer Induktion): für mit der Fibonacci-Folge . Für größere ist die Beziehung jedoch falsch. George Andrews erklärte dies durch die allgemeingültige Identität.George Andrews, Three Aspects for Partitions. Séminaire Lotharingien de Combinatoire, B25f (1990) http://www.mat.univie.ac.at/~slc/opapers/s25andrews.html
.
Bedeutung in der Kombinatorik
Kartenspiele In der Kombinatorik gibt der Koeffizient von in der Polynomentwicklung von an, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, um ungeordnet Karten aus einem Paket von zwei identischen Kartenspielen je unterschiedlicher Karten auszuwählen.Andreas Stiller: Pärchenmathematik. Trinomiale und Doppelkopf. c’t Heft 10/2005, S. 181ff. Hat man beispielsweise zwei Kartenspiele mit den Karten A,B,C, so sieht das folgendermaßen aus:
Anzahl gewählte Karten Anzahl Möglichkeiten Möglichkeiten0113A, B, C26AA, AB, AC, BB, BC, CC37AAB, AAC, ABB, ABC, ACC, BBC, BCC46AABB, AABC, AACC, ABBC, ABCC, BBCC53AABBC, AABCC, ABBCC61AABBCC
Insbesondere ergibt sich daraus Trinomial Triangle als Programmierbeispiel (also gut 287 Millionen) für die Anzahl der unterschiedlichen Hände im Doppelkopf.
Alternativ lässt sich die Zahl dieser Möglichkeit auch berechnen, indem man über die Anzahl der Pärchen in der Hand aufsummiert; dafür gibt es Möglichkeiten und für die verbleibenden Karten gibt es Möglichkeiten, sodass sich daraus folgende Beziehung zu den Binomialkoeffizienten ergibt:
.
Beispielsweise gilt
6=.
In obigem Beispiel entspricht das dann für die Auswahl von 2 Karten den 3 Möglichkeiten mit 0 Pärchen (AB, AC, BC) sowie den 3 Möglichkeiten mit einem Pärchen (AA, BB, CC).
Schachmathematik mini|Anzahl der Möglichkeiten, ein Feld mit der minimalen Zahl von Zügen zu erreichen entspricht auch der Zahl der möglichen Pfade eines Schachkönigs, um in minimaler Zahl von Zügen ein Feld des Schachbretts zu erreichen, das von seinem aktuellen Aufenthaltsort Felder entfernt ist.
Dies gilt nur unter der Bedingung, dass die möglichen Pfade nicht durch den Brettrand eingeschränkt sind.
Literatur Leonhard Euler, Observationes analyticae. Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 11 (1767) 124–143 PDF
Einzelnachweise
Kategorie:Diskrete Mathematik