In der Mathematik erfüllt eine bilineare Abbildung auf dem Vektorraum die Jacobi-Identität (nach Carl Jacobi), falls gilt:

für alle .

Ist die bilineare Abbildung zusätzlich antisymmetrisch, so handelt es sich um eine Lie-Klammer. Wichtige Beispiele sind der Kommutator linearer Abbildungen, das Vektorprodukt und die Poisson-Klammer.

Andere Schreibweisen

Es sei im Folgenden

eine alternierende bilineare Abbildung. Die Jacobi-Identität ist dann äquivalent dazu, dass diese Abbildung die Struktur einer Lie-Algebra auf definiert.

Dann kann die Jacobi-Identität auf folgende Arten umgeschrieben werden:

Anders gesagt: die Abbildung

ist eine Derivation bezüglich des Produktes .

Anders gesagt: Mit der Notation

gilt

dabei ist die Klammer auf der rechten Seite der Kommutator in der Endomorphismenalgebra von . Anders gesagt: Die Abbildung

ist eine Darstellung der Lie-Algebra auf sich selbst. Sie heißt die adjungierte Darstellung.

Quellen

Kategorie:Lineare Algebra Kategorie:Theorie der Lie-Algebren Kategorie:Carl Gustav Jacob Jacobi als Namensgeber