Bruno de Finetti (* 13. Juni 1906 in Innsbruck; † 20. Juli 1985 in Rom) war ein italienischer Mathematiker. Seine wichtigsten Resultate erzielte er in der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Insbesondere baute er den subjektiven Wahrscheinlichkeitsbegriff aus.
Leben De Finetti kam als Bruno Johannes Leonhard Maria von Finetti zur Welt.Biografie de Finettis von seinem Vetter Dr. Hans Hochenegg (PDF; 1,5 MB). Sein Großvater, Giovanni Ritter von Finetti, war ein Bauunternehmer aus Triest, das in dieser Zeit zu Österreich gehörte, und am Bau der Arlbergbahn beteiligt. Deswegen übersiedelte die Familie nach Innsbruck. De Finettis Vater Gualtiero übernahm das Unternehmen, bis er 1910 einen Ruf als Baudirektor nach Triest bekam. Kurz darauf starb der Vater, und die Familie zog nach Trient, die Heimat der Mutter.
Bruno de Finetti studierte angewandte Mathematik in Mailand und schloss das Studium 1927 mit einer Arbeit über affine Vektorräume ab. Die Arbeit wurde ausgezeichnet. Danach übernahm er Forschungsaufgaben am neu gegründeten Istituto Centrale di Statistica in Rom und erhielt 1930 die venia legendi. In jener Zeit bekam er auch Kontakt mit der italienischen Form des Pragmatismus, der ihn insbesondere in seinem Antirealismus stark beeinflusste. Dies brachte de Finetti dazu, die Annahme zu verwerfen, Wahrscheinlichkeiten seien objektiv vorhanden. Stattdessen entwickelte er unabhängig von Frank Ramsey die Theorie der subjektiven Wahrscheinlichkeit.
1931 ging de Finetti in die Wirtschaft und wurde Aktuar der Assicurazioni Generali di Trieste. In diesem Rahmen übernahm er auch Lehrtätigkeiten. 1939 erfolgte ein Ruf der Universität Triest, dem de Finetti aber im faschistischen Italien keine Folge leisten konnte, da er unverheiratet war. Erst 1946 konnte er den Lehrstuhl annehmen. In diese Zeit fallen viele seiner 200 Veröffentlichungen, die jedoch außerhalb Italiens lange Zeit unbeachtet blieben.
1951 und 1957 jeweils lud ihn Leonard Jimmie Savage, ein einflussreicher amerikanischer Statistiker, zu einer Gastprofessur nach Chicago ein. Dadurch erreichten de Finettis Auffassungen weite Bekanntheit, und der nach ihm benannte Satz (s. u.) wurde zu einer Hauptstütze der subjektiven Wahrscheinlichkeitstheorie.
Von 1954 bis 1981 lehrte de Finetti an der Universität Rom, wo er 1985 hoch geehrt verstarb. Er war Mitglied der Accademia Nazionale dei Lincei.
Werk De Finetti war vom Pragmatismus nach Giovanni Vailati sowie dem Operationalismus nach Percy Williams Bridgman beeinflusst. Er war entschieden gegen jegliche Form des Determinismus als auch des Indeterminismus. Die Unterscheidung zwischen diesen vermeintlichen Gegensätzen sei unentscheidbar.
De Finetti schlug folgendes Gedankenexperiment zur Rechtfertigung der subjektiven Wahrscheinlichkeitsauffassung vor:
Man muss einen Preis dafür festlegen, ob es vor 10 Milliarden Jahren Leben auf dem Mars gab. Ist dies der Fall, so muss man einen Dollar bezahlen, gab es kein Leben, so gibt es keinen Zahlungsstrom. Die Antwort auf die Frage, ob es Leben gab, wird erst am kommenden Tag gelüftet.
Wenn bei der Zuweisung der Chancen (Wettquoten) gegen die Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung verstoßen wird, hat die Gegenseite einen sicheren Weg, dem Buchmacher finanziellen Verlust zuzufügen, wie de Finetti zeigt. Die Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung erstrecken sich damit auch auf Situationen unvollständiger Information, wo keine zufälligen Ereignisse eine Rolle spielen. Für de Finetti sind Wahrscheinlichkeiten deswegen Produkt unserer unzureichenden Information: Austauschbarkeit De Finetti beschäftigte sich mit austauschbaren Familien von Zufallsvariablen. Dabei bedeutet Austauschbarkeit, dass die Reihenfolge der Ereignisse keinen Einfluss auf die Gesamtwahrscheinlichkeit hat. Die Annahme der Austauschbarkeit ist stärker, als dass die Zufallsvariablen identisch verteilt, und schwächer, als dass sie identisch verteilt und unabhängig sind.
Weiteres 1929 führte de Finetti den Begriff der unendlichen Teilbarkeit von Zufallsvariablen ein. Er ist eng mit dem des Lévy-Prozesses verbunden.
Die De-Finetti-Diagramme zur einfachen Darstellung des Anteils von Genotypen an einer Population wurden nach ihm benannt. Sie sind ein 2-Simplex.
De Finetti lehnte die σ-Additivität von Zufallsvariablen ab, weil sie seiner Auffassung nach zu paradoxen Konsequenzen führte. Zusammen mit Alfréd Rényi versuchte er, eine alternative Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu entwickeln. Diese Axiomatisierung fand aber kaum Anklang.
Satz von de Finetti
Außerdem bewies er 1931 den Satz von de Finetti (auch Darstellungssatz von de Finetti, englisch: de Finetti's theorem oder de Finetti's representation theorem), der besagt, dass alle ins Unendliche fortsetzbaren Folgen einer austauschbaren Zufallsvariablen als Wichtung einer identisch und unabhängig verteilten Zufallsvariablen dargestellt werden können – und umgekehrt.
Nehmen wir einen beliebig fortsetzbaren Prozess an, in dem es aus Versuchen Treffer und Misserfolge gibt, wobei die Wahrscheinlichkeit einer Anzahl von Treffern nicht von ihrer Reihenfolge abhängt (für ein gegebenes gibt es aufgrund der Austauschbarkeit Folgen aus den insgesamt möglichen Folgen). Dann gibt es genau eine Verteilungsfunktion derart, dass , oder mit als der Dichte der Binomialverteilung geschrieben: .
Beweis De Finetti führt eine heuristische Überlegung an.Bruno de Finetti: Wahrscheinlichkeitstheorie. Oldenbourg (München) 1981, S. 618, Fußnote 18:
Vgl. dazu auch S. 8: Nehmen wir zunächst einen endlichen Fall mit Versuchen, wobei es Treffer und Misserfolge gibt. Dann kann jedes unabhängig von den anderen betrachtet werden. Für ein gegebenes sind alle Folgen, die dieses an Treffern liefern, wegen der Austauschbarkeit gleich wahrscheinlich. Es handelt sich um ein Urnenmodell ohne Zurücklegen und demzufolge um eine hypergeometrische Verteilung. Demnach muss es genau eine Wichtung mit und geben, sodass:
Wenn gegen unendlich geht, geht die hypergeometrische zur Binomialverteilung über, und die Summe wird zum Integral. Damit ergibt sich der Satz.Bruno de Finetti: Wahrscheinlichkeitstheorie. Oldenbourg (München) 1981, S. 618.Richard Jeffrey: Subjective Probability (The Real Thing). Cambridge University Press 2004 (PDF; 605 kB), S. 87.
Ein formal korrekter Beweis kann etwa über das Momentproblem geführt werden. Das -te Moment von ist gleich der Wahrscheinlichkeit, aus Versuchen Treffer zu erhalten. und die Folge sind dadurch eindeutig bestimmt.
Anwendung Erweiterungen des Satzes auf Zufallsvariablen mit mehr als zwei Zuständen und Prozesse, bei denen Teilfolgen austauschbar sind, sowie binomiale Näherungsformeln für nur endlich fortsetzbare Zufallsvariablen existieren. Inzwischen wurde gezeigt, dass auch endliche und negativ korrelierte Zufallsfolgen gemäß de Finetti dargestellt werden können, wenn als Wichtung ein signiertes Maß aus gewählt wird.Jay Kerns, Gábor Székely: De Finetti's Theorem for Finite Exchangeable Sequences. 2005.
Diese Sätze stellen einen Zusammenhang zwischen einerseits der Häufigkeit realer Ereignisse und andererseits subjektiven Wahrscheinlichkeitszuweisungen her, wobei es von Bedeutung ist, dass der Zusammenhang in beiden Richtungen wirkt. Dieser Zusammenhang erlaubt, mithilfe des Satzes von Bayes statistisch zu schließen.Jose M. Bernardo: The Concept of Exchangeability and its Applications. 1996 (PDF; 87 kB)Kerns, Székely, a. a. O, viertes Kapitel. De Finetti und, ihm folgend, die Anhänger einer bayesschen Wahrscheinlichkeitsauffassung sehen darin eine Rechtfertigung der Induktion.de Finetti, a. a. O, elftes Kapitel.
Veröffentlichungen (Auswahl)
Wieder abgedruckt: Deutsche Übersetzung:
Probabilità e induzione. Bologna, 1993.
Weblinks Webpräsenz zu de Finettis Gedenken De-Finetti-Generator (archiviert vom Internet Archive 19. Juli 2011) von Henning Henschke am Institut für Medizinische Biometrie, Informatik und Epidemiologie der Universität Bonn
Bruno de Finetti in der Datenbank zbMATH
Einzelnachweise
Kategorie:Stochastiker (20. Jahrhundert) Kategorie:Statistiker (20. Jahrhundert) Kategorie:Hochschullehrer (Universität La Sapienza) Kategorie:Mitglied der Accademia dei Lincei Kategorie:Italiener Kategorie:Geboren 1906 Kategorie:Gestorben 1985 Kategorie:Mann