Additivität

Unter Additivität (von addere „hinzufügen“) versteht man in der Mathematik die Eigenschaft, dass das Ganze gleich der Summe seiner Teile ist. Die Grundidee dieses Prinzips besagt, dass sich ein Gesamtergebnis durch die Addition von Teilergebnissen berechnen lässt. Der Begriff wird in verschiedenen mathematischen Teilgebieten und Zusammenhängen verwendet und dort jeweils präzise definiert. Die Gegenstücke zur Additivität sind die Subadditivität und die Superadditivität, bei denen das Gesamtergebnis kleiner bzw. größer als die Summe der Teilergebnisse ist.

Additive Funktionen (Analysis / Lineare Algebra)

Definitionen Ist eine Halbgruppe mit der Verknüpfung , so heißt eine Abbildung additiv, wenn sie die Funktionalgleichung

erfüllt. Sind Definitions- und Zielbereich abelsche Gruppen, so spricht man auch von -Linearität.

Die Abbildung heißt subadditiv, wenn für alle und aus gilt: .

Die Abbildung heißt superadditiv, wenn für alle und aus gilt: .

Beispiele Gemäß der Dreiecksungleichung sind Normen und Beträge stets subadditiv. Sublineare Funktionen sind per Definition subadditiv. Lineare Abbildungen sind per Definition additiv.

Eigenschaften Eine Abbildung ist genau dann additiv, wenn sie sowohl sub- als auch superadditiv ist. Ist eine additive Funktion, so gilt für jede endliche Anzahl von Elementen aus :

Entsprechendes gilt für Sub- und Superadditivität.

Additive Funktionen (Zahlentheorie) Bei zahlentheoretischen Funktionen betrachtet man als Verknüpfung auf die Multiplikation. Eine zahlentheoretische Funktion heißt additiv, wenn die Gleichung

für alle teilerfremden und gilt. Trifft dies sogar ohne die Einschränkung „teilerfremd“ (also für alle natürlichen Zahlen und ), so heißt die Funktion streng additiv.

Additivität in der Maßtheorie

Endliche Additivität In der Maßtheorie heißt eine Mengenabbildung endlich additiv, wenn für je zwei disjunkte Teilmengen und eines Mengensystems gilt:

Diese Bedingung ist gleichbedeutend damit, dass für endlich viele paarweise disjunkte Teilmengen gilt:

was gelegentlich auch zur Definition der endlichen Additivität dient.Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-36018-3, S. 12 ().

σ-Additivität

Verlangt man, dass die Additivität nicht nur für endlich viele disjunkte Teilmengen des Mengensystems gilt, sondern sogar für abzählbar viele disjunkte Teilmengen, so heißt die Mengenfunktion σ-additiv („sigma-additiv“) oder abzählbar additiv. Die σ-Additivität einer Mengenfunktion bedeutet also, dass für paarweise disjunkte Mengen stets gilt, dass

Die σ-Additivität enthält die endliche Additivität als Spezialfall und hat eine grundlegende Bedeutung für den modernen axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie sowie der Maß- und Integrationstheorie.

Subadditivität und Superadditivität

Eine Mengenfunktion heißt endlich subadditiv, wenn für je endlich viele Mengen gilt: . Gild diese Eigenschaft für abzählbare vielen Mengen , so heißt die Mengenfunktion .

Auf analoge Weise ist die Superadditivität einer Mengenfunktion definiert. Jedoch wird hier wie bei der σ-Additivität verlangt, dass die Mengen paarweise disjunkt sind. Eine Mengenfunktion heißt demnach endlich superadditiv, wenn für je endlich viele paarweise disjunkte Mengen gilt:

und σ-superadditiv, wenn diese Eigenschaft für abzählbare vielen paarweise disjunkte Mengen gilt.

Einzelnachweise

Kategorie:Analysis