mini|hochkant=1.3|Zernike-Polynome: , , , , .
Die Zernike-Polynome sind nach Frits Zernike benannte orthogonale Polynome auf dem Einheitskreis. Sie sind orthogonal bezüglich des Skalarprodukts
in kartesischen beziehungsweise
in Polarkoordinaten.
Die Zernike Polynome spielen insbesondere in der Wellenoptik eine wichtige Rolle. Es gibt bezüglich gerade und ungerade Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:
, also ,
und die ungeraden durch
, also
wobei und nichtnegative ganze Zahlen sind. Zusätzlich wird gefordert, dass und gerade ist. ist der azimutale Winkel und ist der normierte radiale Abstand.
Die Radialpolynome sind definiert gemäß
, wenn gerade ist und , wenn ungerade ist.
In dieser Form sind sie zu normiert.
Eigenschaften Zernike-Polynome sind ein Produkt eines radiusabhängigen Teils und eines winkelabhängigen Teils :
mini|upright=2|Zernike-Polynome:Von oben nach unten: bis . Von links nach rechts: über (auf der vertikalen Achse in der Mitte) bis .
Zernike-Polynome werden üblicherweise in Polarkoordinaten angegeben. Mit und umgewandelt auf kartesische Koordinaten sind die Zernike-Polynome bivariate Polynome in und . Lakshminarayanan & Fleck, Review, 2011: Zernike polynomials: A guide.
Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel ändert den Wert des Polynoms nicht:
Der radiusabhängige Teil ist ein Polynom über vom Grad , welches nur Potenzen mit und gerade enthält. Dadurch sind und und somit auch die Zernike-Polynome in kartesischen Koordinaten als Polynome in und darstellbar, vgl. Winkelfunktionen für weitere Vielfache.
+Zernike-Polynome in Polarkoordinaten und in kartesischen KoordinatenWyant - Zernike Polynomials For The Web.PolynomPolarkoordinatenKartesische KoordinatenWellenoptische Interpretation Mittelwert (Piston) Verschwenkung in der horizontalen Achse Verschwenkung in der vertikalen Achse Defokussierung Astigmatismus schräg (45°) zu den Hauptachsen Astigmatismus in den Hauptachsen Koma, horizontale Achse Koma, vertikale Achse Sphärische Aberration
ist eine bezüglich gerade (ungerade) Funktion, wenn gerade (ungerade) ist.
Der radiusabhängige Teil stellt einen Spezialfall der Jacobi-Polynome dar.
Die Reihe der radiusabhängigen Polynome beginnt mit
Allgemein ist
Anwendungen In der Optik werden Zernike-Polynome benutzt, um Abbildungsfehler optischer Systeme quantitativ zu erfassen. Dies findet zum Beispiel in der adaptiven Optik Anwendung.
Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der Optometrie und Augenheilkunde üblich. Hier führen Abweichungen der Cornea beziehungsweise der Linse von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.
Literatur
Frits Zernike: „Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und seiner verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode.“ Physica 1, 689–704, 1934. Born and Wolf: Principles of Optics. Oxford: Pergamon, 1970.
Weblinks
Einzelnachweise
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