mini|hochkant=1.5|Krummlinige, affine und Kartesische Koordinaten Krummlinige Koordinaten sind Koordinatensysteme auf dem euklidischen Raum , bei denen die Koordinatenlinien gekrümmt sein können und die diffeomorph zu kartesischen Koordinaten sind.William M. Boothby: An Introduction to Differential Manifolds and Riemannian Geometry. 2., überarbeitete Auflage. Academic Press, 2002. Das heißt, die Transformation zwischen kartesischen Koordinaten und krummlinigen Koordinaten muss lokal invertierbar sein, wobei die Abbildung wie auch die Umkehrabbildung stetig differenzierbar sein müssen.
Die am häufigsten verwendeten krummlinigen Koordinatensysteme, die alle drei zu den orthogonalen Koordinatensystemen zählen, sind: (ebene) Polarkoordinaten (2D) Zylinderkoordinaten (3D) Kugelkoordinaten (3D)
Je nach Problemstellung sind Berechnungen in krummlinigen Koordinatensystemen einfacher als in kartesischen durchzuführen. Zum Beispiel sind physikalische Systeme mit Radialsymmetrie oft einfacher in Kugelkoordinaten zu behandeln.
Folgende Ausführungen beziehen sich speziell auf den dreidimensionalen euklidischen Raum, vieles davon lässt sich jedoch auf den -dimensionalen Fall erweitern.
Transformation von kartesischen Koordinaten
Koordinaten eines Punktes im -dimensionalen Raum sind ein Tupel aus reellen Zahlen, die bezüglich eines speziellen Koordinatensystems bestimmt werden. Im Folgenden werden für einen Punkt die Koordinaten in zwei verschiedenen Koordinatensystemen betrachtet.
Die kartesischen Koordinaten lassen sich als stetig differenzierbare Funktionen neuer Koordinaten schreiben (direkte Transformation):
, , …
Dies stellt ein Gleichungssystem dar, das invertierbar (also nach den auflösbar) ist (inverse Transformation)
, , …
wenn die inverse Funktionaldeterminante ungleich null oder unendlich ist:
.
Die inverse Transformation muss ebenso wie die direkte Transformation stetig differenzierbar sein.
Für die Punkte, in denen die Transformation umkehrbar eindeutig ist, heißt die Transformation regulär, sonst singulär. Dann gilt: Ist ein Punkt mit den kartesischen Koordinaten gegeben, so können mit Hilfe der inversen Transformation eindeutig die Koordinaten , die krummlinigen Koordinaten von , berechnet werden. Jeder reguläre Punkt des Raums kann eindeutig sowohl durch die als auch äquivalent durch die beschrieben werden.
Ein Satz von Transformationsgleichungen mit den oben beschriebenen Eigenschaften zusammen mit einem kartesischen Koordinatensystem definiert ein krummliniges Koordinatensystem.
Koordinatenflächen, -linien und -achsen
mini|350px|Hier qi statt ui: Koordinatenflächen, Koordinatenlinien und Koordinatenachsen (entlang der Basisvektoren eines ausgewählten Ortes) Die Begriffe Koordinatenflächen, -linien und -achsen werden im Folgenden anhand des dreidimensionalen Raums anschaulich erläutert.
Koordinatenflächen erhält man, indem jeweils eine Koordinate festgehalten () und die beiden anderen variiert werden.
mit
Durch jeden nicht-singulären Punkt geht genau eine Fläche jeder Flächenschar .
Koordinatenlinien erhält man, indem jeweils zwei Koordinaten festgehalten ( mit ) und die dritte variiert wird, d. h. als Schnittmenge zweier Koordinatenflächen für unterschiedliche Koordinaten.
mit
Obige Bedingung für die Funktionaldeterminante bedeutet, dass in jedem Punkt des 3-dimensionalen Raumes sich nur 3 Koordinatenlinien schneiden dürfen, da sonst dieser Punkt keine eindeutigen Koordinaten besitzt (Funktionaldeterminante gleich null).
Als Beispiel für eine Uneindeutigkeit zählt die -Achse bei Kugelkoordinaten, an der sich alle Ebenen ( ist der Azimutwinkel) schneiden; somit sind die Koordinaten von Punkten auf der -Achse nicht eindeutig (, aber beliebig). Solche Punkte heißen singuläre Punkte der Transformation.
Schneiden sich die Koordinatenlinien unter rechten Winkeln, so heißt das Koordinatensystem orthogonal.
Die Koordinatenachsen sind als Tangenten an die Koordinatenlinien definiert. Da die Koordinatenlinien im Allgemeinen gekrümmt sind, sind die Koordinatenachsen nicht räumlich fest, wie es für kartesische Koordinaten gilt. Dies führt auf das Konzept der lokalen Basisvektoren, deren Richtung vom betrachteten Raumpunkt abhängt – im Gegensatz zu globalen Basisvektoren der kartesischen oder affinen Koordinaten.
Verschiedene Basen
Um einen Vektor mittels Koordinaten darstellen zu können, ist eine Basis nötig. Im -dimensionalen Raum besteht diese aus linear unabhängigen Vektoren, den Basisvektoren. Jeder beliebige Vektor kann als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden, wobei die Koeffizienten der Linearkombination die Komponenten des Vektors genannt werden.
Für echt krummlinige (also nicht-geradlinige) Koordinaten variieren Basisvektoren und Komponenten von Punkt zu Punkt, weshalb die Basis als lokale Basis bezeichnet wird. Die Ortsabhängigkeit eines Vektorfeldes verteilt sich auf die Koordinaten sowie auf die Basisvektoren. Im Gegensatz dazu zeichnen sich globale Basen dadurch aus, dass die Basisvektoren in jedem Punkt identisch sind, was nur für lineare bzw. affine Koordinaten (die Koordinatenlinien sind geradlinig, aber im Allgemeinen schiefwinklig) möglich ist. Die Ortsabhängigkeit eines Vektorfeldes steckt bei geradlinigen Koordinatensystemen allein in den Koordinaten.
Um Basisvektoren mit einem Koordinatensystem zu verknüpfen, gibt es zwei gebräuchliche Methoden: kovariante Basisvektoren: Tangential an die Koordinatenlinien, d. h. kollinear zu den Koordinatenachsen kontravariante Basisvektoren: Normal zu den Koordinatenflächen
Die beiden Klassen von Basisvektoren sind dual bzw. reziprok zueinander. Diese beiden Basen bezeichnet man als holonome Basen. Sie unterscheiden sich in ihrem Transformationsverhalten unter Koordinatenwechsel. Dabei sind die Transformationen invers zueinander.
An jedem Punkt der betrachteten Mannigfaltigkeit existieren gleichzeitig beide Basen. Somit kann ein beliebiger Vektor als Linearkombination entweder der kovarianten Basisvektoren oder der kontravarianten Basisvektoren dargestellt werden. Dabei werden stets kontravariante Koordinaten mit kovarianten Basisvektoren kombiniert und kovariante Koordinaten mit kontravarianten Basisvektoren .
Diese kreuzweise Paarung (kontra-ko bzw. ko-kontra) sorgt dafür, dass der Vektor unter Koordinatentransformation invariant ist, da die Transformationen von Koordinaten und Basisvektoren invers zueinander sind und sich gegenseitig aufheben. Diese Eigenschaft ist für den Begriff eines Vektors in der Physik essentiell: In der Physik müssen Gesetzmäßigkeiten unabhängig vom speziellen Koordinatensystem gelten. Aus physikalischer Sicht muss ein Vektor, der z. B. die Geschwindigkeit eines Teilchens beschreibt, unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sein.
Man spricht von einem kontravarianten Vektor (besser: kontravarianter Koordinatenvektor), wenn die Koordinaten kontravariant und die Basisvektoren kovariant sind. Analog spricht man von einem kovarianten Vektor, wenn die Koordinaten kovariant und die Basisvektoren kontravariant sind.
Kovariante Basis
Die kovarianten Basisvektoren schmiegen sich in jedem Punkt tangential an die Koordinatenlinien an.
Normierte und natürliche Basisvektoren
Die Tangenteneinheitsvektoren an die Koordinatenlinien bilden eine Basis, bestehend aus kovarianten Basisvektoren:
Diese Einheitsvektoren haben im Allgemeinen eine vom Ort abhängige Richtung .
Man definiert die Maßstabsfaktoren durch
, somit
Die unnormierten Vektoren bilden die natürliche Basis, aus der man durch Normierung die unitäre Basis erhält (Einheitsvektoren). Die Vektoren der natürlichen Basis werden hier mit bezeichnet, die Vektoren der normierten Basis durch .
Kontravariante Komponenten: Vektoren als Linearkombination der kovarianten Basisvektoren
Mit der neuen Basis lassen sich nun alle Vektoren durch die Basisvektoren der kovarianten Basis (normiert) bzw. (unnormiert = natürliche Basisvektoren) ausdrücken:
Dabei ist bzw. die (kontravariante) Vektorkomponente, die in Richtung der -Koordinatenlinie zeigt, bezüglich der normierten Basis und bezüglich der natürlichen Basis. In der Tensoranalysis wird mit hochgestelltem Index geschrieben.
Die Länge einer Vektorkomponente entspricht im Fall der normierten Basis dem Betrag der Koordinate , im Fall der natürlichen Basis dem Produkt aus dem Betrag der Koordinate und der Länge des Basisvektors :
Beschreibt ein Vektor eine physikalische Größe, so steckt im unnormierten Fall nicht nur die Länge, sondern auch die physikalische Dimension teils in den Koordinaten und teils in den natürlichen Basisvektoren, was bei konkreten Rechnungen umständlich sein kann. Bei normierter Basis hingegen ist die physikalische Dimension rein auf die Koordinate beschränkt. Die Koordinaten heißen deshalb physikalische Koordinaten und die normierten Basisvektoren heißen auch physikalische Basisvektoren.
Zur Abgrenzung heißen die Koordinaten deshalb holonome Koordinaten und die natürlichen Basisvektoren heißen auch holonome Basisvektoren oder einfach kontravariante Koordinaten und kovariante Basisvektoren.
Transformationsverhalten von Basisvektoren und Koordinaten, Jacobi-Matrix
Aus der Definition der natürlichen Basisvektoren folgt für die Transformation von den Koordinaten nach die einfache Transformationsformel:
Die natürlichen Basisvektoren zeigen ein sehr einfaches Transformationsverhalten. Für die normierten Basisvektoren enthält die Transformationsformel zusätzliche Faktoren :
Ein beliebiger Vektor muss sowohl in den alten, wie auch den neuen Koordinaten darstellbar sein:
Somit erhält man das Transformationsverhalten der Koordinaten:
Während die Transformation der (kovarianten) Basisvektoren mittels der Jacobi-Matrix durchzuführen ist, muss bei der Transformation der (kontravarianten) Koordinaten die inverse Jacobi-Matrix angewandt werden.
In der Tensoranalysis definiert man einen Vektor über obiges Transformationsverhalten. Insofern ist der Ortsvektor selbst kein Vektor, das Ortsvektordifferential aber schon.
Die Jacobi-Matrix der Koordinatentransformation von kartesischen in krummlinige Koordinaten ist identisch mit der Matrix, die von den natürlichen Basisvektoren als Spalten gebildet wird:
Die Bedingung für die inverse Funktionaldeterminante lässt sich anhand folgender Beziehung erklären:
Dies entspricht einer inhomogenen linearen Gleichung für den Vektor . D. h. die Unbekannten sind die Basisvektoren der krummlinigen Koordinaten . Das Gleichungssystem ist nur dann eindeutig lösbar, wenn der Kern der Matrix nulldimensional ist bzw. die Zeilen- oder Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Dies ist dazu äquivalent, dass die Determinante ungleich Null ist. Dann sind die Unbekannten eindeutig bestimmt, d. h. an jedem Punkt existiert genau eine definierte Basis .
Analog entspricht die duale Basis einer Matrix, die genau das Inverse der obigen Matrix ist.
Metrischer Tensor und Gramsche Determinante
Die Skalarprodukte zwischen den natürlichen Basisvektoren definieren die Komponenten des metrischen Tensors bzw. Fundamentaltensors :
Man beachte, dass der metrische Tensor wegen der Kommutativität des Skalarprodukts symmetrisch ist:
Wegen dieser Symmetrie hat der metrische Tensor unabhängige Elemente (statt ), im Dreidimensionalen also 6 Koeffizienten.
Der metrische Tensor lässt sich als Produkt der Jacobi-Matrix und ihrer Transponierten schreiben:
Die Größen nennt man Metrik- bzw. Maßkoeffizienten, da diese benötigt werden, um die Länge eines Vektors aus den kontravarianten Koordinaten zu berechnen. Hierzu sind die Maßstabsfaktoren nötig.
Die Maßstabsfaktoren sind durch die Diagonalelemente gegeben, da gilt:
Die Determinante des metrischen Tensors wird Gramsche Determinante genannt:
Aus folgt, dass der Betrag der Determinante der Jacobi-Matrix (also der Funktionaldeterminante) gleich der Wurzel der Gramschen Determinante sein muss. Oder anders geschrieben, dass
,