Der Satz von Plancherel (nach Michel Plancherel, der ihn 1910 bewies) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Fourier-Analysis, das zur Funktionalanalysis gehört. Er besagt, dass die Fourier-Transformation auf dem Raum der quadratintegrierbaren Funktionen eine Isometrie ist, also dass eine Funktion und ihre Fourier-Transformierte die gleiche -Norm haben.
Aussage Es existiert eine Isometrie , die unitär und eindeutig bestimmt ist durch
für alle , wobei die Fourier-Transformation und den Schwartz-Raum bezeichnet.
Bemerkungen Die Gleichheit gilt nicht nur für , sondern auch für , da sowohl in als auch in dicht liegt. Da auf und die Fourier-Transformation auf definiert ist, kann man als Fortsetzung der Fourier-Transformation auf verstehen. Diese Fortsetzung wird ebenfalls wieder Fourier-Transformation oder seltener Fourier-Plancherel-Transformation genannt. Der Satz von Parseval ist das Analogon des Satzes von Plancherel für Fourier-Reihen. Jedoch hängen die Sätze nicht direkt zusammen, da bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation kein Orthogonalsystem (sondern zumindest für Hilberträume sog. „Frames“) zugrunde liegt.
Siehe auch Harmonische Analyse
Literatur Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, S. 188–189, ISBN 0-07-054236-8
Weblinks Plancherel's Theorem by Mathworld
Kategorie:Harmonische Analyse Plancherel, Satz von