mini|Papyrusfragment aus der Grabungsstätte Oxyrhynchos. Es zeigt eine Behauptung aus den Elementen (Buch II, § 5). Aus (P. Oxy. I 29). mini|Seite aus der mutmaßlich ältesten vollständigen Überlieferung der Elemente von 888 n. Chr. Euklid, Elemente 10, Appendix, Oxford, Bodleian Library, MS. D’Orville 301, fol. 268r.
Die Elemente (im Original „Anfangsgründe“) sind eine Abhandlung des griechischen Mathematikers Euklid (3. Jahrhundert v. Chr.), in der er die Arithmetik und Geometrie seiner Zeit zusammenfasst und systematisiert. Das Werk zeigt erstmals musterhaft den Aufbau einer exakten Wissenschaft, da die meisten Aussagen aus einem begrenzten Vorrat von Definitionen, Postulaten und Axiomen hergeleitet und bewiesen werden.
Die Elemente wurden zweitausend Jahre lang als akademisches Lehrbuch benutzt und waren bis in die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts das nach der Bibel meistverbreitete Werk der Weltliteratur.Belegt wird die Bedeutung des Euklid und der Elemente unter anderem durch den Mathematiker und Philosophen Paul Lorenzen, der in der Einleitung seiner Elementargeometrie schreibt (S. 9):In gleicher Weise äußert sich der Geometer und Mathematikhistoriker Howard Whitley Eves in An Introduction to the History of Mathematics (S. 115):
Inhaltliche Übersicht Euklids Elemente bestanden ursprünglich aus 13 Teilen in altgriechischer Schrift, die Euklid damals als Bücher bezeichnete und nach heutigem Verständnis Kapiteln entsprechen. Später kamen zwei weitere Teile anderer Autoren hinzu.
In den Teilen werden eine Reihe von Behauptungen (Propositionen) aufgestellt und je anschließend bewiesen. Zu diesem Zweck werden zu Beginn des ersten Teils 23 Definitionen angegeben sowie je 5 sogenannte Postulate und Axiome formuliert. Die folgenden Teile ergänzen weitere Definitionen, argumentieren ansonsten aber mit den Postulaten und Axiomen aus dem ersten Teil.
Heute unterscheidet man bei den Propositionen zwischen Lehrsätzen und Konstruktionsaufgaben, was noch im Originaltext nicht explizit geschah. Ebenfalls nachträglich wurden die Propositionen durchnummeriert und für Querverweise in anderen Propositionen verwendet (im Original wurden die Ergebnisse vorangegangener Propositionen stattdessen komplett wiederholt). Zum Ende eines Beweises bediente sich Euklid zudem der beiden Schlussformeln „was zu beweisen war“ für Lehrsätze bzw. „was auszuführen war“ für Konstruktionen.
+ Übersicht zu den ursprünglichen 13 Teilen von Euklids Elementen Buch I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII Gesamt Definitionen 23 2 11 7 18 4 22 – – 16 28 – – 131 Postulate 5 – – – – – – – – – – – – 5 Axiome 5 – – – – – – – – – – – – 5 Behauptungen 48 14 37 16 25 33 39 27 36 115 39 18 18 465
Axiomatik Wesentlich am historischen Wert der Elemente ist die axiomatische Methode zur Begründung mathematischen Wissens. Statt Aussagen intuitiv logisch zu begründen, hat das Werk den Anspruch, Behauptungen systematisch durch logische Schlussfolgerungen aus einer Sammlung von Grundannahmen (den 10 Postulaten bzw. Axiomen) herzuleiten und war damit wegweisend für weitere Anstrengungen zur Axiomatisierung mathematischer Teilgebiete bzw. der Mathematik als Ganzes – wie sie insbesondere Ende des 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts intensiv verfolgt wurde.
Obwohl im Werk zwischen Postulaten und Axiomen unterschieden wird, haben beide axiomatischen Charakter. Während Postulate geometrische Grundannahmen zum Ausdruck bringen, sind Axiome Annahmen zu logischen Zusammenhängen.
Für die Axiomatisierung des mathematischen Teilgebiets der Geometrie sind die fünf geometrischen Grundannahmen am wichtigsten, die in diesem Kontext daher heute als „Theorieaxiome“ bezeichnet werden und ins Deutsche übersetzt wie folgt lauten:
mini|Graphische Darstellung der 5 Postulate der Elemente. V stellt das Parallelenaxiom in originaler, V' in moderner Formulierung dar. Postulat: „Es ist möglich, eine und nur eine gerade Linie von einem beliebigen Punkt zu einem beliebigen anderen Punkt zu zeichnen.“ Postulat: „Es ist möglich, eine begrenzte gerade Linie an jedem Ende zusammenhängend gerade zu verlängern, und zwar um einen Beitrag, der größer ist als eine beliebige vorgegebene Länge.“ Postulat: „Es ist möglich, einen und nur einen Kreis mit gegebenem Mittelpunkt und Radius zu zeichnen.“ Postulat: „Alle rechten Winkel sind einander gleich.“ Postulat: „Wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, dass die innen auf derselben Seite entstehenden Winkel zusammen kleiner als zwei rechte werden, dann treffen sich die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei rechte sind.“
Das 5. Postulat, das in einer abgewandelten Formulierung auch als Parallelenaxiom bekannt ist, sticht hierbei heraus. Man hat historisch versucht, es aus den anderen Postulaten herzuleiten (was es dann zu einem Theorem gemacht hätte, das Bemühen darum ist auch als Parallelenproblem bekannt), was später als unmöglich erkannt wurde. Stattdessen eröffnet eine Abwandlung des 5. Postulats das Tor zu den sogenannten nichteuklidischen Geometrien.
Die Elemente sind trotz ihres auf den ersten Blick stringent erscheinenden Formalismus weniger formal als modernere Ansätze zur Axiomatisierung (vgl. Begriffsschrift von Frege, Principia Mathematica von Russell und Whitehead oder ZF-Mengenlehre von Zermelo und Fraenkel). Zwar werden Theoreme zur Geometrie aus 10 definitiven Annahmen gewonnen, die verwendeten Schlussregeln (die nach modernem Verständnis für jedes formale System notwendig sind) werden allerdings nirgends eingeführt, sondern nach intuitivem Verständnis angewandt. Auch greifen die Elemente auf keine Formelsprache zurück, stattdessen werden Annahmen, Theoreme und Schlussfolgerungen umgangssprachlich ausgedrückt.
Die einzelnen Bücher Die 13 Bücher in Euklids Elemente schlüsseln sich wie folgt in Themengebiete auf (in Klammern die vermuteten Quellen):
Buch 1–6: Flächengeometrie, u. a. kongruente und ähnliche Figuren Buch 1: Von den Definitionen bis zum Satz des Pythagoras (Pythagoreer) Buch 2: Geometrische Algebra (Pythagoreer) Buch 3: Kreislehre (Pythagoreer) Buch 4: Vielecke (Pythagoreer) Buch 5: Proportionen (Eudoxos von Knidos) Buch 6: Proportionen in der ebenen Geometrie (Quellen unbekannt)
Buch 7–9: Arithmetik, u. a. Zahlentheorie und Proportionenlehre Buch 7: Teilbarkeit und Primzahlen (Pythagoreer) Buch 8: Quadrat-, Kubikzahl und geometrische Reihen (Pythagoreer) Buch 9: Gerade und ungerade Zahlen (Pythagoreer)
Buch 10: Geometrie für inkommensurable Größen (Theaitetos)
Buch 11–13: Raumgeometrie Buch 11: Elementares zur Raumgeometrie Buch 12: Exhaustionsmethode (Eudoxos von Knidos) Buch 13: Die fünf gleichmäßigen Körper (Theaitetos)
Zu diesen Büchern kamen später noch zwei weitere hinzu, die aber nicht zu den eigentlichen Elementen gezählt werden: Buch 14: Ein Buch des Hypsikles (2. Jahrhundert v. Chr.) über Ikosaeder und Dodekaeder Buch 15: Ein nur arabisch und hebräisch erhaltenes Buch eines späteren unbekannten Autors, arabisch in Kommentaren von Muhyi al-Dīn al-Maghribī erhalten. Es behandelt die fünf regulären Polyeder. Möglicherweise geht es auf griechische Überlieferung zurück.
Bekannte Resultate Euklids Elemente enthalten zahlreiche bedeutende mathematische Resultate. Zum Teil sind die Elemente die älteste Quelle für diese Resultate. Bekannt sind zum Beispiel: Buch 1, Postulat 5: Parallelenaxiom Buch 1, Proposition 9: Konstruktion der Winkelhalbierenden Buch 1, Proposition 15: Scheitelwinkelsatz Buch 1, Proposition 20: Dreiecksungleichung Buch 1, Proposition 29: Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz Buch 1, Proposition 32: Winkelsumme im Dreieck, Außenwinkelsatz Buch 1, Proposition 43: Satz vom Gnomon Buch 1, Proposition 47: Satz des Pythagoras (in verallgemeinerter Form mit einem zweiten Beweis in Buch 6, Proposition 31) Buch 2, Proposition 4: Erste Binomische Formel Buch 2, Proposition 5: Dritte Binomische Formel Buch 3, Proposition 20: Kreiswinkelsatz Buch 3, Proposition 31: Satz des Thales Buch 3, Proposition 35: Sehnensatz Buch 4, Proposition 11: Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks Buch 4, Proposition 16: Konstruktion des regelmäßigen Fünfzehnecks Buch 5, Proposition 25: Spezialfall der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel Buch 6, Proposition 2: Erster Strahlensatz Buch 6, Proposition 3: Winkelhalbierendensatz für das Dreieck Buch 6, Proposition 4: Ähnlichkeitssätze für das Dreieck Buch 6, Proposition 13: Konstruktion des geometrischen Mittels Buch 6, Proposition 30: Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnitts Buch 7, Proposition 2: Euklidischer Algorithmus Buch 7, Proposition 30: Lemma von Euklid Buch 9, Proposition 20: Existenz unendlich vieler Primzahlen (Satz von Euklid) Buch 10, Proposition 10: Irrationalität der Quadratwurzel von 2 Buch 10, Proposition 29, Lemma 1: Erzeugung der pythagoreischen Tripel Buch 12, Proposition 10: Bestimmung des Kegelvolumens Buch 13, Proposition 8: Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck Buch 13, Proposition 18 a: Klassifikation der platonischen Körper
Überlieferung mini|Titelblatt von Henry Billingsleys englischer Übersetzung der Elemente (1570) Die älteste erhaltene griechische Handschrift stammt aus dem Byzanz des Jahres 888, wird in der Bodleian Library (Oxford) aufbewahrt (MS. D’Orville 301) und entspricht der Ausgabe in der Bearbeitung von Theon von Alexandria. Von besonderer Bedeutung ist eine griechische Handschrift aus dem 10. Jahrhundert in der Vatikanbibliothek (Vaticanus Graecus 190, von Heiberg P genannt), die einen Text vor der Bearbeitung durch Theon enthält und auf der alle neueren Ausgaben beruhen. Sie enthält Buch 1 bis 15 (sowie die Data, den Kommentar von Marinos zu den Data und einige Texte von Theon). Es gibt auch ein 1897 in Oxyrhynchus gefundenes Papyrusfragment (Oxyrhynchus 29, Bibliothek der University of Pennsylvania), wahrscheinlich aus der Zeit von 75 bis 125 n. Chr., das aber nur die Proposition 5 aus Buch 2 enthält, und ein Papyrusfragment aus Herculaneum (Nr. 1061) mit der Definition 15 aus Buch 1.
Sowohl die Version von Theon als auch Vatikan 190 enthalten Erläuterungen und kleinere Zusätze älterer Bearbeiter, die sogenannten Scholia.
Eine Übersetzung des Boethius aus dem Griechischen ins Lateinische (um 500) ist nur teilweise und auch nur in späteren Bearbeitungen erhalten. Frühere Übersetzungen ins Lateinische (vor Boethius) sind verloren.
Von den zahlreichen arabischen Übersetzungen und Kommentaren waren für die Überlieferung besonders die beiden nur fragmentarisch bekannten Übersetzungen des al-Haggag (oder al-Haddschadsch) gegen Ende des 8. Jahrhunderts und diejenigen von Ishaq ibn Hunayn / Thabit ibn Qurra (Ende 9. Jahrhundert) bzw. von Nasir Al-din al-Tusi (1248) von Bedeutung. Al-Nayrizi schrieb Anfang des 10. Jahrhunderts einen Kommentar, basierend auf der Übersetzung von Al-Haggag.Von Maximilian Curtze 1899 als Supplement zur Heiberg-Ausgabe in der lateinischen Übersetzung von Gerhard von Cremona veröffentlicht.