Die Teileranzahlfunktion gibt an, wie viele positive Teiler eine natürliche Zahl hat; dabei werden die Eins und die Zahl selbst mitgezählt. Die Teileranzahlfunktion gehört zum mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie wird meist mit oder bezeichnet – da sie einen Spezialfall der Teilerfunktion darstellt, auch als .

+ … Anzahl der Teiler von . … kleinstes mit Teilern. Pink: hoch-zusammengesetzte Zahl Faktorisierungvon 1 1 1 2 2 2 3 4 22 4 6 2 · 3 5 16 24 6 12 22 · 3 7 64 26 8 24 23 · 3 9 36 22 · 32 10 48 24 · 3 11 1.024 210 12 60 22 · 3 · 5 13 4.096 212 14 192 26 · 3 15 144 24 · 32 16 120 23 · 3 · 5 17 65.536 216 18 180 22 · 32 · 5 19 262.144 218 20 240 24 · 3 · 5 21 576 26 · 32 22 3.072 210 · 3 23 4.194.304 222 24 360 23 · 32 · 5 25 1.296 24 · 34 26 12.288 212 · 3 27 900 22 · 32 · 52 28 960 26 · 3 · 5 29 268.435.456 228 30 720 24 · 32 · 5 31 1.073.741.824 230 32 840 23 · 3 · 5 · 7 33 9.216 210 · 32 34 196.608 216 · 3 35 5.184 26 · 34 36 1.260 22 · 32 · 5 · 7

Definition Für jede natürliche Zahl wird die Teileranzahlfunktion definiert als , wobei die Mächtigkeit der Menge ist.

Die ersten Werte sind:Weitere Anfangswerte siehe auch . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Teiler von  1  1, 2 1, 3 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 6 1, 7 1, 2, 4, 8 1, 3, 9 1, 2, 5, 10 1, 11 1, 2, 3, 4, 6, 12 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6

Eigenschaften Hat die Zahl die Primfaktorzerlegung

so gilt:G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, Theorem 273, S. 239.

Für teilerfremde Zahlen und gilt:

Die Teileranzahlfunktion ist also eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Eine Zahl ist genau dann eine Primzahl, wenn gilt. Eine Zahl ist genau dann eine Quadratzahl, wenn ungerade ist. Die zur Teileranzahlfunktion gehörige Dirichlet-Reihe ist das Quadrat der riemannschen Zetafunktion:G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, Theorem 289, S. 250. (für ). Wenn der Wert eine Primzahl ist, dann ist Wenn der Wert eine zusammengesetzte Zahl ist, dann ist stets durch 6 teilbar Wenn der Wert eine Zweierpotenz ist, dann ist eine hochzusammengesetzte Zahl

Asymptotik Im Mittel ist , präziser gilt:G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, Theorem 320, S. 264.

Dabei sind „“ ein Landau-Symbol und die Euler-Mascheroni-Konstante.

Als Heuristik kann die Erkenntnis dienen, dass eine Zahl ein Teiler von etwa Zahlen ist, damit wird die Summe auf der linken Seite in etwa zu

(Zum letzten Schritt siehe harmonische Reihe.)

Der Wert für den Fehlerterm wurde bereits von P. G. L. Dirichlet bewiesen;P. G. L. Dirichlet: Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie. In: Abhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. 1849, S. 69–83; oder Werke, Band II, S. 49–66. die Suche nach besseren Werten ist deshalb auch als dirichletsches Teilerproblem bekannt.

Bessere Werte wurden von G. F. Woronoi (1903, ),G. Voronoï: Sur un problème du calcul des fonctions asymptotiques. In: J. Reine Angew. Math. 126 (1903) S. 241–282. J. van der Corput (1922, )J. G. van der Corput: Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem. In: Math. Ann. 87 (1922) 39–65. Berichtigungen 89 (1923) S. 160. sowie M. N. Huxley () angegeben. Auf der anderen Seite zeigten G. H. Hardy und E. Landau, dass gelten muss.G. H. Hardy: On Dirichlet’s divisor problem. In: Lond. M. S. Proc. (2) 15 (1915) 1–25.Vgl. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, S. 272. Die möglichen Werte für sind immer noch Forschungsgegenstand.

Verallgemeinerungen Die Teilerfunktion ordnet jeder Zahl die Summe der -ten Potenzen ihrer Teiler zu:

Die Teilersumme ist der Spezialfall der Teilerfunktion für , und die Teileranzahlfunktion ist der Spezialfall der Teilerfunktion für :

Siehe auch Hochzusammengesetzte Zahl Zahlentheoretische Funktion

Literatur G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.

Weblinks

Quellen

Kategorie:Zahlentheoretische Funktion