Die Gumbel-Verteilung (nach Emil Julius Gumbel), die Fisher-Tippett-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) oder Extremal–I–Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die wie die Fréchet-Verteilung zu den Extremwertverteilungen gehört. Die Verteilung heißt auch doppelte Exponentialverteilung.
Definition mini|Dichtefunktion f(x) der Gumbel-Verteilung|400px Eine stetige Zufallsgröße genügt einer Gumbel-Verteilung mit Skalenparameter und Lageparameter , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
und damit die Verteilungsfunktion
besitzt. Standard-Fall Werden keine Parameter angegeben, so sind die Standard-Parameter und gemeint. Dieser Spezialfall wird manchmal auch als Doppelexponentialverteilung bezeichnet. Damit ergibt sich die Dichte
und die Verteilungsfunktion
Durch die affin-linearen Transformationen mit erhält man die oben angegebene Lage-Skalen-Familie von Verteilungen mit den Eigenschaften
, , und
Eigenschaften
Erwartungswert Die Gumbelverteilung besitzt den Erwartungswert . Dabei ist die Euler-Mascheroni-Konstante.
Varianz Die Varianz einer Gumbelverteilung ist .
Standardabweichung Die Standardabweichung einer Gumbelverteilung ist .
Anwendung
Sie wird u. a. in folgenden Bereichen benutzt: Hydrologie, insbesondere Wasserwirtschaft für extreme Ereignisse wie Hochwasser und Trockenzeiten Verkehrsplanung Meteorologie (Wettervorhersage)
Beziehung zu anderen Verteilungen Beziehung zur Extremwertverteilung Die Gumbel-Verteilung mit den Parametern und ist eine Extremwertverteilung vom Typ I und ergibt sich als Spezialfall für aus der verallgemeinerten Extremwertverteilung, die die Extremwertverteilungen der Typen I, II und III und die zugehörigen Verteilungstypen in einer Verteilungsfamilie zusammenfasst.
Weblinks Eric W. Weisstein: Extreme Value Distribution auf MathWorld
Einzelnachweise
Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung