Eine Determinantenfunktion oder Determinantenform ist in der linearen Algebra eine spezielle Funktion, die einer Folge von Vektoren eines -dimensionalen Vektorraums eine Zahl zuordnet.
Definition
Sei ein -dimensionaler Vektorraum über einem Körper . Dann heißt eine Funktion Determinantenfunktion, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:
ist multilinear, d. h. linear in jeder Variablen:
(Additivität)
(Homogenität)
ist alternierend:
Eigenschaften
Eine Determinantenfunktion ist schiefsymmetrisch, allgemeiner gilt für eine Permutation : , wobei das Signum der Permutation bezeichnet.
Sind linear abhängig, so gilt . Für eine nicht-triviale Determinantenfunktion (d. h. ) gilt auch die Umkehrung dieser Aussage.
Sind zwei Determinantenfunktionen und , dann gibt es ein so, dass . Das bedeutet, dass es bis auf eine Normierungskonstante nur eine nicht-triviale Determinantenfunktion gibt, alle anderen Determinantenfunktionen lassen sich durch Multiplikation mit einer Konstanten gewinnen. Tatsächlich existiert auf jedem Vektorraum eine nicht-triviale Determinantenfunktion.
Beispiele
Die Nullfunktion ist die sog. triviale Determinantenfunktion. , mit der üblichen Determinante als Determinantenfunktion. Aus dem vorangehenden Beispiel durch Multiplikation der Determinante mit einer Konstante gewonnene Determinantenfunktionen.
Literatur
H. Zieschang: Lineare Algebra und Geometrie. B.G. Teubner, Stuttgart 1997. ISBN 3-519-02230-3 S. Bosch: Lineare Algebra. Springer-Verlag, Münster 2008. ISBN 3-540-76437-2
Kategorie:Lineare Algebra