Die Logarithmische Gammaverteilung (auch Log-Gammaverteilung) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Heavy-tailed-Verteilung ist geeignet zur Modellierung von Schadensdaten im extremen Großschadenbereich der Industrie-, Haftpflicht-, RückversicherungClaudia Cottin, Sebastian Döhler: Risikoanalyse: Modellierung, Beurteilung und Management von Risiken mit Praxisbeispielen. Springer-Verlag 2012.
Definition Eine stetige Zufallsgröße mit den Parametern und genügt der logarithmischen Gammaverteilung, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
besitzt. Ihre Verteilungsfunktion lautet dann , wobei die unvollständige Gammafunktion ist.
Eigenschaften Erwartungswert Für ergibt sich der Erwartungswert zu .
Varianz Die Varianz ergibt sich für als .
Variationskoeffizient Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten .
Schiefe Die Schiefe lässt sich für geschlossen darstellen als .
Momente Es existieren nur die Momente der Ordnung kleiner als .
Produkte von logarithmisch Gamma-verteilte Zufallsvariablen
Sind und unabhängige logarithmisch gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch das logarithmisch gammaverteilt, und zwar
Allgemein gilt: Sind stochastisch unabhängig dann ist
Somit bildet die logarithmische Gammaverteilung eine multiplikative Faltungshalbgruppe in einem ihrer beiden Parameter.
Beziehung zu anderen Verteilungen In der Versicherungsmathematik wird die Verteilung der Anzahl der Schäden häufig mit Hilfe von Poisson-, negativ Binomial- oder logarithmisch verteilten Zufallsvariablen modelliert. Zur Beschreibung der Schadenshöhe eignen sich dagegen die Gamma-, logarithmische Gamma- oder logarithmische Normalverteilung.
Beziehung zur Gammaverteilung Wenn die Zufallsvariable Gamma-verteilt ist, dann ist Log-Gamma-verteilt.
Beziehung zur Paretoverteilung Die Paretoverteilung mit den Parametern und entspricht der Log-Gammaverteilung mit den Parametern und .
Einzelnachweise
Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung