mini|Graph der Gammafunktion im Reellen mini|Komplexe Gammafunktion: Die Helligkeit entspricht dem Betrag, die Farbe dem Argument des Funktionswerts. Zusätzlich sind Höhenlinien konstanten Betrags eingezeichnet. mini|Betrag der komplexen Gammafunktion
Die Eulersche Gammafunktion, auch kurz Gammafunktion oder Eulersches Integral zweiter Gattung, ist eine der wichtigsten speziellen Funktionen und wird in den mathematischen Teilgebieten der Analysis und der Funktionentheorie untersucht. Sie wird heute durch ein , den griechischen Großbuchstaben Gamma, bezeichnet und ist eine transzendente meromorphe Funktion mit der Eigenschaft
für jede natürliche Zahl , wobei mit die Fakultät bezeichnet wird. Die Gammafunktion erweitert also die Fakultätsfunktion auf nichtnatürliche Argumente, jedoch mit einer Verschiebung des Arguments der Funktion um 1 im Vergleich mit der Fakultät. Genauer ist die Gammafunktion für alle komplexen Zahlen außer Null und den negativen ganzen Zahlen definiert. Ihr Definitionsbereich ist also .
Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler führte 1729 die Gammafunktion ein, als er versuchte, die Fakultät auf nicht-ganzzahlige Argumente zu verallgemeinern. Er definierte die Gammafunktion durch ein unendliches Produkt. Es gibt jedoch noch weitere äquivalente Möglichkeiten, die Gammafunktion zu definieren. Heute wird die Gammafunktion oft mit der folgenden Integraldarstellung definiert, die ebenfalls auf Euler zurückgeht:
Die Gammafunktion liegt der Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung zugrunde.
Problemstellung
Die Fakultätsfunktion ordnet einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen bis zu dieser Zahl zu. Bezeichnet wird die Fakultät mit dem Symbol des Ausrufezeichens . Also gilt zum Beispiel
gesprochen "4 Fakultät".
Die Fakultät erfüllt für jede natürliche Zahl die Funktionalgleichung . So gilt etwa .
Im 17. Jahrhundert galt es innerhalb der Mathematik als Problem, ob sich diese Fakultätsfunktion auch auf Zahlen anderer Art erweitern ließe.https://imsc.uni-graz.at/gronau/TMCS_1_2003.pdf Konkret bedeutet das: Lassen sich Fakultäten auch für beliebige rationale, reelle, komplexe Zahlen berechnen? Wie etwa könnte man sich etwa vorstellen? Falls solche „universellen“ Fakultätsfunktionen gefunden werden, welche mathematischen Eigenschaften können ihnen gegeben werden? Zeichnet sich eine dieser Funktionen strukturell als ganz besonders natürlich aus? Ist diese besondere Funktion eindeutig bestimmt, liefert also „die eine“ verallgemeinerte Fakultät?
Die Gammafunktion liefert eine zufriedenstellende Antwort auf diese Fragen:
Sie verallgemeinert – mit einer Verschiebung um 1 – die Fakultätsfunktion: Für jede natürliche Zahl liefert , also gilt zum Beispiel (die Verschiebung um 1 von der oben erwähnten Fakultät ist auf eine Konvention aus dem 19. Jahrhundert zurückzuführen).
Die Funktionalgleichung , die von der Fakultät erfüllt ist, ist immer noch für die Gammafunktion gültig (unter Berücksichtigung der Verschiebung um 1 zwischen der Fakultät und der Gammafunktion): So gilt die Funktionalgleichung für jede komplexe (möglicherweise nichtnatürliche) Zahl (außer für negative ganze Zahlen, denn diese liegen außerhalb des Definitionsbereichs der Gammafunktion).
Es ist anzumerken, dass diese beiden Eigenschaften die Gamma-Funktion nicht eindeutig charakterisieren. Es gibt unendlich viele andere Funktionen, die die Fakultät verallgemeinern und die Funktionalgleichung erfüllen. Die Gammafunktion ist jedoch die einzige dieser Funktionen, die zusätzliche, als „natürlich“ angesehene Eigenschaften, wie logarithmische Konvexität, aufweist (siehe zum Beispiel den Satz von Bohr-Mollerup).
Geschichte
Als früheste Definition der Gammafunktion gilt die in einem Brief von Daniel Bernoulli an Christian Goldbach vom 6. Oktober 1729 gegebene:Brief (JPG-Datei, 136 kB) von Daniel Bernoulli an Christian Goldbach vom 6. Oktober 1729, abgedruckt in Paul Heinrich Fuss (Hrsg.): Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle. (Band 2), St.-Pétersbourg 1843, S. 324–325 (französisch).Peter Luschny: Interpolating the natural factorial n! or The birth of the real factorial function (1729–1826). (englisch).
für unendlich große , entsprechend heutiger Notation oder . Wenige Tage später, am , beschrieb Euler ebenfalls in einem Brief an Goldbach die ähnliche, etwas einfachere Formel
Diese von Leonhard Euler entdeckte Formel für die Gammafunktion kann direkt als unendliche Produktreihe in ihrer standardisierten Form so dargestellt werden:
Sie ist für alle komplexen Zahlen gültig und wurde 1812 von Gauß (für den Fall komplexer Zahlen) wiederentdeckt (die genannten Briefe wurden erst 1843 herausgegeben). Am 8. Januar 1730 beschrieb Euler in einem Brief an Goldbach folgendes Integral zur Interpolation der Fakultätsfunktion,Brief (PDF-Datei, 211 kB) von Leonhard Euler an Christian Goldbach vom 8. Januar 1730, abgedruckt in Paul Heinrich Fuss (Hrsg.): Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle. Band 1, St.-Pétersbourg 1843, S. 11–18 (lateinisch). das er am 28. November 1729 der St. Petersburger Akademie vorgestellt hatte:
in heutiger Notation:
Diese Definition wurde von Euler später bevorzugt verwendetLeonhard Euler: De evolutione integralium per producta infinita. (PDF-Datei, 1,2 MB), Kapitel 9 in Teil 1 des ersten Bandes von Euler: Institutionum calculi integralis. 1768, S. 225–250 (lateinisch). und geht durch die Substitution in die Form
über. Euler entdeckte dieses Integral bei der Untersuchung eines Problems aus der Mechanik, bei dem die Beschleunigung eines Teilchens betrachtet wird.
Adrien-Marie Legendre führte 1809 die griechische Majuskel (Gamma) als Funktionssymbol ein.Adrien-Marie Legendre: Recherches sur diverses sortes d’intégrales définies. (13. November 1809), Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France 10, 1809, S. 477 (französisch).Adrien-Marie Legendre: Traité des fonctions elliptiques et des intégrales Eulériennes. (Band 2), Huzard-Courcier, Paris 1826, S. 365 (französisch). Gauß verwendete 1812 das Funktionssymbol (Pi) so, dass und somit auch für nichtnegative ganzzahlige gilt. Es setzte sich jedoch nicht durch; heute wird als Symbol für ein Produkt benutzt (analog zu für eine Summe).
Definition und elementare Darstellungsformen
Es gibt in der Literatur keine einheitliche Definition für die Gammafunktion.
Häufig wird das Eulersche Integral zweiter Gattung gegeben. Ein Nachteil ist, dass dieses Integral nicht überall konvergiert. Somit ist eine globale Berechnung mittels dieser Definition nur indirekt möglich. Für komplexe Zahlen mit positivem Realteil ist die Gammafunktion damit das uneigentliche Integral
Die dadurch definierte Funktion ist holomorph, da das Integral (wegen des schnellen Abfallens der Exponentialfunktion) auf kompakten Mengen gleichmäßig konvergiert. Dies ermöglicht den Einsatz des Weierstraßschen Konvergenzsatzes. Mittels meromorpher Fortsetzung lässt sich schließlich für alle Werte berechnen.
Eine andere Darstellung mittels eines Produktes motiviert die Verallgemeinerung der Fakultät auf direkte Weise. Sie ist gegeben durch:
In seinem Buch Number Theory. Analytic and modern tools gibt Henri Cohen eine Definition mittels der Hurwitzschen Zeta-Funktion . Als Begründung hierfür wird eine „einfache Möglichkeit der Verallgemeinerung“ und die „Betonung wichtiger Formeln“ angegeben. Es gilt demnach für komplexe Zahlen mit positivem Realteil
wobei die Ableitung bezüglich der ersten Variablen gebildet ist.
Globale Eigenschaften
Funktionalgleichung und Meromorphie
Die Gammafunktion erfüllt in ihrem Definitionsbereich für alle die Funktionalgleichung
Mittels dieser Relation ist eine induktive Fortsetzung (beispielsweise des Eulerschen Integrals) möglich. Es gilt für alle
Nullstellen und Polstellen
Aus der vorherigen Darstellung kann gefolgert werden, dass zu einer auf meromorphen Funktion fortgesetzt werden kann, die Pole an den Stellen besitzt. Alle Pole sind einfach und besitzen das Residuum , hierbei ist . Nullstellen besitzt keine. Das macht zu einer ganzen Funktion mit ausschließlich einfachen Nullstellen.
Der Satz von Hölder
Der Satz von Hölder (Otto Hölder 1886)O. Hölder: Ueber die Eigenschaft der Gammafunction keiner algebraischen Differentialgleichung zu genügen. 26. Juni 1886, Mathematische Annalen 28, 1887, S. 1–13. ist ein Negativresultat und besagt, dass die Gammafunktion keine algebraische Differentialgleichung erfüllt, deren Koeffizienten rationale Funktionen sind. Das heißt, es gibt keine Differentialgleichung der Form mit einer nichtnegativen ganzen Zahl und einem Polynom in , dessen Koeffizienten rationale Funktionen von sind, und der Lösung .Steven B. Bank, Robert P. Kaufman: A note on Hölder’s theorem concerning the Gamma function. Mathematische Annalen 232, 1978, S. 115–120 (englisch).
Axiomatische Charakterisierung
Fortsetzung der Fakultät
Die Bedingungen und , die die Fakultät für natürliche Zahlen eindeutig beschreiben, werden auch von anderen analytischen Funktionen als der Gammafunktion erfüllt. Für positive erfüllt beispielsweise die Funktion
für die charakteristischen Bedingungen der Gammafunktion. Weierstraß fügte 1854 daher die notwendige und hinreichende Bedingung
hinzu,Karl Weierstraß: Über die Theorie der analytischen Facultäten. (20. Mai 1854), Journal für die reine und angewandte Mathematik 51, 1856, S. 36.Nielsen: Handbuch der Theorie der Gammafunktion. 1906, S. 3. womit aber die Suche nach einer möglichst elementaren oder natürlichen charakterisierenden Eigenschaft nicht beendet war.Davis: Leonhard Euler’s integral: A historical profile of the gamma function. 1959, S. 867. Emil Artin diskutierte 1931 die mögliche Kennzeichnung durch Funktionalgleichungen.Artin: Einführung in die Theorie der Gammafunktion. 1931, S. 31–35.
Der Satz von Bohr-Mollerup
Der Satz von Bohr-Mollerup (Harald Bohr und Johannes Mollerup 1922)Harald Bohr, Johannes Mollerup: Lærebog i matematisk Analyse III. (Lehrbuch der mathematischen Analysis III), Jul. Gjellerups Forlag, København (Kopenhagen) 1922 (dänisch).Artin: Einführung in die Theorie der Gammafunktion. 1931, S. 12–13. erlaubt eine einfache Charakterisierung der Gammafunktion:
Eine Funktion ist in diesem Bereich genau dann gleich der Gammafunktion, wenn sie die folgenden Eigenschaften erfüllt: , für alle und ist logarithmisch konvex, das heißt ist eine konvexe Funktion.
Diese Axiome sind bei Nicolas Bourbaki der Ausgangspunkt für die Darstellung der Theorie der Gammafunktion.N. Bourbaki: Éléments de mathématique IV. Fonctions d’une variable réelle. Hermann, Paris 1951 (französisch).
Der Satz von Wielandt
Der Satz von Wielandt über die Gammafunktion (Helmut Wielandt 1939)Konrad Knopp: Funktionentheorie II. (5. Auflage), de Gruyter, Berlin 1941, S. 47–49.Reinhold Remmert: Wielandt’s theorem about the Γ-function. The American Mathematical Monthly 103, 1996, S. 214–220 (englisch). charakterisiert die Gammafunktion als holomorphe Funktion und besagt:
Eine holomorphe Funktion , definiert auf einem Gebiet , das den Streifen enthält, ist genau dann gleich der Gammafunktion auf , wenn gilt:
ist auf dem Streifen beschränkt, das heißt, es existiert ein , sodass für alle aus .
Genauer gilt für alle mit .
Weitere Darstellungsformen
Gaußsche und Weierstraßsche Darstellung