mini|hochkant=1.5|Das Gemeinlot von zwei windschiefen Geraden. Seine Länge definiert den Abstand zwischen und . Das Gemeinlot ist ein Begriff aus der Mathematik insbesondere aus der analytischen Geometrie. Zu zwei Geraden bezeichnet es eine Gerade oder Strecke, die sowohl Lot der einen als auch Lot der anderen Gerade ist, also „gemeinsames“ Lot ist. Somit schneidet das Gemeinlot die beiden Geraden im rechten Winkel, wodurch es auch häufig definiert wird.
Verlaufen die beiden Geraden parallel zueinander, so gib es unendlich viele Gemeinlote, die durch Translation in der Richtung der beiden Geraden auseinander hervorgehen. Die Länge jedes dieser Gemeinlote entspricht dann dem Abstand der beiden Geraden. Sie sie hingegen windschief zueinander, so ist das Gemeinlot eindeutig bestimmt; in diesem Fall ist es (als Strecke aufgefasst) die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den beiden Geraden, und seine Länge definiert den Abstand zwischen den beiden Geraden.
Berechnung der Lotfußpunkte mini|Zeichnung zur Bestimmung der Lotfußpunkte Im dreidimensionalen Raum seien zwei Geraden und gegeben durch die Parametergleichungen
und .
Das Gemeinlot ist festgelegt durch die Lotfußpunkte und , also seinen Schnittpunkten mit der Gerade bzw. . Zur Bestimmung von stellt man eine Hilfsebene auf, die den Punkt enthält und von und einem Normalenvektor von und (z. B. ) aufgespannt wird:
.
Der Lotfußpunkt ist dann der Schnittpunkt von und (siehe Abbildung), was auf die Vektorgleichung
in den Unbekannten , und führt. Diese Gleichung ist äquivalent zu einem linearen Gleichungssystem, das sich nach den drei Unbekannten auflösen lässt. Einsetzen der Lösung für in die Gleichung der Geraden liefert den Ortsvektor von . Analog erhält man den Lotfußpunkt als Schnittpunkt der Ebene und der Geraden .
Durch Bildung von Skalarprodukten lassen sich die Parameterwerte und der Lotfußpunkte explizit angeben. Für wird die oben stehende Vektorgleichung beidseitig mit dem Vektor skalarmultipliziert:
Wegen folgt hieraus
Eine Gleichung für erhält man auf analoge Weise: Dazu wird die Vektorgleichung für mit skalarmultipliziert und nach . Siehe auch Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Raumgeometrie Kategorie:Analytische Geometrie