Die Bonsesche Ungleichung ist ein Satz über das Wachstum der Primzahlen. Sie besagt, dass das Quadrat einer Primzahl kleiner ist als das Produkt der kleineren Primzahlen. Gefunden und veröffentlicht wurde die Ungleichung von dem Münsteraner Studenten Bonse im Jahr 1907. Einem breiten Publikum nahegebracht wurde sie durch das populärwissenschaftliche Mathematikbuch Von Zahlen und FigurenHans Rademacher, Otto Toeplitz: Von Zahlen und Figuren. Proben mathematischen Denkens für Liebhaber der Mathematik. Springer-Verlag 2000, ISBN 3-540-63303-0. der beiden Mathematiker Hans Rademacher (1892–1969) und Otto Toeplitz (1881–1940).
Formal: Wenn die Folge der Primzahlen bezeichnet, dann gilt für alle :
Für ist diese Ungleichung falsch, es gilt also:
Mit der Ungleichung lässt sich zeigen, dass die größte Zahl mit der Eigenschaft ist, dass jede zu ihr teilerfremde Zahl entweder gleich oder prim sind. Für sind das die Zahlen .
Verschärfungen Wie Rademacher und Toeplitz bemerken, gibt es bessere Ergebnisse als die Bonsesche Ungleichung – etwa eine von Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow gefundene Ungleichung, die besagt, dass jede Primzahl kleiner als das Doppelte ihrer Vorgängerprimzahl ist. Doch lassen sich diese besseren Ergebnisse nur mit kraftvollen Mitteln der höheren Mathematik beweisen, während Bonse für den Beweis seiner Ungleichung nur elementare Mittel benötigte.
Eine noch stärkere Einschränkung sagt sogar eine Primzahl zwischen zwei Quadratzahlen voraus. Das ist als Legendresche Vermutung bekannt, die jedoch bisher nicht bewiesen werden konnte.
Mathematische Anwendungen Robert J. Betts beschrieb im Jahr 2007, wie man mit Hilfe der Bonseschen Ungleichung Aussagen über die Größe von Primzahllücken bekommen kann, die zwar nicht so stark wie andere bekannte Abschätzungen, aber auf einfachere Art und Weise herleitbar sind. Abrufbar unter
Einzelnachweise
Kategorie:Primzahl Kategorie:Satz (Mathematik) Kategorie:Ungleichung