Die gemischte Poisson-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik, die univariat ist und zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zählt. Sie ist als allgemeiner Ansatz für die Schadenzahlverteilung in der Versicherungsmathematik zu finden und wird auch als epidemiologisches Modell untersucht. Sie verallgemeinert die Poisson-Verteilung und sollte nicht mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung verwechselt werden.
Definition Eine Zufallsvariable genügt der Gemischten Poisson-Verteilung mit der Dichte , wenn sie die Wahrscheinlichkeiten
besitzt. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung mit bezeichnen, gilt folglich .
Eigenschaften Die Varianz ist immer größer als der Erwartungswert. Diese Eigenschaft nennt man Überdispersion ( overdispersion). Dies ist im Gegensatz zur Poisson-Verteilung, bei der Erwartungswert und Varianz identisch sind. In der Praxis werden als Dichten nur Dichten von Gamma-Verteilungen, logarithmischen Normalverteilungen und von inversen Gauß-Verteilungen benutzt. Wählt man die Dichte der Gamma-Verteilung, so erhält man die Negative Binomialverteilung, was erklärt, warum diese auch Poisson-Gamma-Verteilung genannt wird.
Im Folgenden sei der Erwartungswert der Dichte , und die Varianz dieser Dichte.
Erwartungswert Der Erwartungswert ergibt sich zu . Varianz Für die Varianz erhält man . Standardabweichung Aus Erwartungswert und Varianz erhält man die Standardabweichung . Variationskoeffizient Für den Variationskoeffizienten ergibt sich: .
Schiefe Die Schiefe lässt sich darstellen als .
Charakteristische Funktion Die charakteristische Funktion hat die Form . Dabei ist die momenterzeugende Funktion der Dichte.
Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man .
Momenterzeugende Funktion Die momenterzeugende Funktion der gemischten Poisson-Verteilung ist .
Literatur Jan Grandell: Mixed Poisson Processes. Chapman & Hall, London 1997, ISBN 0-412-78700-8. Tom Britton: Stochastic Epidemic Models with Inference. Springer, 2019,
Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung