Die verallgemeinerte Poisson-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und somit dem mathematischen Teilgebiet der Stochastik zuzuordnen. Sie ist eine univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den natürlichen Zahlen, die vor allem in der Versicherungsmathematik verwendet wird. Im Vergleich zur Poisson-Verteilung besitzt sie zwei Parameter, ist dadurch wesentlich flexibler als diese.
Definition Eine diskrete Zufallsvariable unterliegt der Verallgemeinerten Poisson-Verteilung mit den Parametern (Ereignisrate) und , wenn sie die Wahrscheinlichkeiten
besitzt. Setzt man , so ergibt sich die gewöhnliche Poisson-Verteilung zum Erwartungswert .
Eigenschaften Die Varianz ist immer mindestens so groß wie der Erwartungswert (für sogar größer). Diese Eigenschaft nennt man Überdispersion ( overdispersion). Für die verallgemeinerte Poisson-Verteilung sind Rekursionen für die Summenverteilung bekannt, wie man sie auch von der Panjer-Verteilung kennt. Für viele Anwendungsfälle ist die implizite Definition der verallgemeinerten Poisson-Verteilung ausreichend.
Erwartungswert Der Erwartungswert ergibt sich zu .
Varianz Für die Varianz erhält man .
Standardabweichung Aus der Varianz erhält man wie üblich die Standardabweichung .
Variationskoeffizient Für den Variationskoeffizienten ergibt sich: .
Schiefe Die Schiefe lässt sich darstellen als .
Charakteristische Funktion Die charakteristische Funktion hat die Form mit .
Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man mit .
Momenterzeugende Funktion Die momenterzeugende Funktion der verallgemeinerten Poisson-Verteilung ist mit .
Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung