miniatur|hochkant=2|Wahrscheinlichkeitsfunktion der logarithmischen Verteilung für (blau), (grün) und (rot) Die logarithmische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik, der Mathematik des Zufalls. Sie ist univariat, eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und kommt aus dem Bereich der Versicherungsmathematik. Sie ist interessant als Schadenshöhenverteilung, wird aber kaum zur Bestimmung der Schadensanzahlen benutzt.
Definition Eine diskrete Zufallsgröße genügt der logarithmischen Verteilung mit dem Parameter (Erfolgswahrscheinlichkeit), wenn sie die Wahrscheinlichkeit
besitzt.
Eigenschaften Erwartungswert Die logarithmische Verteilung hat einen Erwartungswert von .
Varianz Die Varianz bestimmt sich zu .
Variationskoeffizient Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten .
Schiefe Die Schiefe ergibt sich zu: .
Charakteristische Funktion Die charakteristische Funktion hat die Form .
Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man .
Momenterzeugende Funktion Die momenterzeugende Funktion der logarithmischen Verteilung ist .
Iterative Berechnung Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt die rekursive Gleichung
mit Startwert . Dies kann zur effektiven Implementierung von logarithmisch verteilten Zufallszahlen genutzt werden.
Beziehung zu anderen Verteilungen Kombiniert man die logarithmische Verteilung mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung, so entsteht die negative Binomialverteilung und damit als Spezialfall auch die geometrische Verteilung.
Literatur
Weblinks
Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung