Divergenz eines Vektorfeldes

Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld, das an jedem Punkt angibt, wie sehr die Vektoren in einer kleinen Umgebung des Punktes auseinanderstreben (). Interpretiert man das Vektorfeld als Strömungsfeld einer Größe, für die die Kontinuitätsgleichung gilt, dann ist die Divergenz die Quelldichte. Senken haben negative Divergenz. Ist die Divergenz überall gleich null, so bezeichnet man das Feld als quellenfrei.

Die Divergenz ergibt sich aus dem Vektorfeld durch Anwendung eines Differentialoperators. Verwandte Differentialoperatoren liefern die Rotation eines Vektorfeldes und den Gradienten eines Skalarfeldes. Das mathematische Gebiet ist die Vektoranalysis.

In der Physik wird die Divergenz zum Beispiel bei der Formulierung der Maxwell-Gleichungen oder der verschiedenen Kontinuitätsgleichungen verwendet. Im Ricci-Kalkül wird die mit Hilfe der kovarianten Ableitung gebildete Größe manchmal etwas ungenau als Divergenz eines Tensors bezeichnet (für diese Größe gilt auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten zum Beispiel nicht der Gaußsche Integralsatz).

Beispiel aus der Physik Trifft ein dünner Strahl Öl auf eine ruhige Wasseroberfläche, dann schwimmt das Öl wegen seiner geringeren Dichte auf dem Wasser und breitet sich radial vom Strahl weg aus. Die Bewegung des Öls auf der Oberfläche kann durch ein zweidimensionales (zeitabhängiges) Vektorfeld beschrieben werden: An jedem Punkt ist zu jedem beliebigen Zeitpunkt die Fließgeschwindigkeit des Öls in Form eines Vektors gegeben. Die Stelle, an der der Strahl auf die Wasseroberfläche trifft, ist eine „Ölquelle“, da von dort Öl wegfließt, das aus dem Strahl kommt. Die Divergenz an dieser Stelle ist positiv. Im Gegensatz dazu bezeichnet man eine Stelle, an der das Öl beispielsweise am Rand aus dem Wasserbecken abfließt, als Senke. Die Divergenz an dieser Stelle ist negativ.

Definition Sei ein differenzierbares Vektorfeld in kartesischen Koordinaten . Dann ist die Divergenz von definiert als

Die Divergenz ist das (formale) Skalarprodukt des Nabla-Operators mit dem Vektorfeld . Der Nabla-Operator ist auch in krummlinigen Koordinaten definiert, siehe #Beliebige krummlinige Koordinaten, und die mit ihm gebildete Divergenz ist von der Wahl des Koordinatensystems unabhängig.

Bei der Divergenz handelt es sich um einen Operator auf einem Vektorfeld, der in einem skalaren Feld resultiert:

Darin ist Cp(D,W) der Funktionenraum der p-fach stetig differenzierbaren Funktionen mit Definitionsmenge D und Zielmenge W. Für den Fall eines dreidimensionalen Vektorfeldes ist die Divergenz in kartesischen Koordinaten definiert als

.

Bei der Schreibweise ist es wichtig, den Multiplikationspunkt zwischen und dem Vektorfeld zu setzen, da der -Operator sonst als Gradient der Vektorkomponenten missverstanden werden könnte (im dyadischen Produkt beim Linksgradient wird gelegentlich das Zeichen „⊗“ weggelassen, sodass entsteht).

Die Divergenz als „Quellendichte“ Interpretiert man ein Vektorfeld als Strömungsfeld, so beschreibt dessen totales Differenzial ein Beschleunigungsfeld. Ist in einem Punkt die Beschleunigungsmatrix diagonalisierbar, so beschreibt jeder Eigenwert die Beschleunigung in Richtung des zugehörigen Eigenvektors . Jeder positive Eigenwert beschreibt also die Intensität einer gerichteten Quelle und jeder negative Eigenwert die gerichtete Intensität einer Senke. Addiert man diese Eigenwerte, so erhält man die resultierende Intensität einer Quelle bzw. Senke. Da die Summe der Eigenwerte gerade die Spur der Beschleunigungsmatrix ist, wird die Quellenintensität durch

gemessen.

Die Divergenz kann in diesem Sinne als „Quellendichte“ interpretiert werden.

In der Terminologie der Strömungsmechanik stellt das die bekannte Tatsache dar, dass die Divergenz eines Strömungsfeldes die Spur dessen Geschwindigkeitsgradienten ist. Dies gilt allgemein, siehe Vektorgradient und #Expansionsrate:

wo ⊤ die Transposition ausführt.

Koordinatenfreie Darstellung Für die Interpretation der Divergenz als „Quellendichte“ ist die folgende koordinatenfreie Definition in der Form einer Volumenableitung wichtig (hier für den Fall )

Dabei ist ein beliebiges Volumen, zum Beispiel eine Kugel oder ein Parallelepiped; ist sein Inhalt. Es wird über den Rand dieses Volumenelements integriert, ist die nach außen gerichtete Normale und das zugehörige Flächenelement. Man findet hierzu auch die Schreibweise mit .

Für n > 3 kann diese Aussage leicht verallgemeinert werden, indem man n-dimensionale Volumina und ihre (n-1)-dimensionalen Randflächen betrachtet. Bei Spezialisierung auf infinitesimale Würfel oder Quader erhält man die bekannte Darstellung in kartesischen Koordinaten

In orthogonalen krummlinigen Koordinaten, zum Beispiel Kugelkoordinaten oder elliptischen Koordinaten, (also für , mit ), wobei ist, wobei also nicht die , sondern die die physikalische Dimension einer „Länge“ haben, gilt dagegen etwas allgemeiner

wobei die Punkte am Ende weitere Terme beinhalten, die durch fortgesetzte zyklische Permutationen, erzeugt nach dem Schema usw., aus dem angeschriebenen folgen, was der kanonischen Darstellung im Abschnitt #Beliebige Orthogonalkoordinaten entspricht.

Herleitung der kartesischen Darstellung

Zur Herleitung der kartesischen Darstellung der Divergenz aus der koordinatenfreien Darstellung betrachte man einen infinitesimalen Würfel .

Nun wendet man den Mittelwertsatz der Integralrechnung an, wobei die gestrichenen Größen aus dem Intervall sind.

Somit bleibt nur die Summe der Differenzenquotienten übrig

,

die im Grenzübergang zu partiellen Ableitungen werden:

Kovariantes Verhalten bei Drehungen und Verschiebungen

Der Divergenz-Operator kommutiert mit räumlichen Drehungen und Verschiebungen eines Vektorfeldes, d. h. die Reihenfolge dieser Operationen macht keinen Unterschied.

Begründung: Wenn das Vektorfeld im Raum gedreht oder (parallel)verschoben wird, braucht man in der oben gegebenen koordinatenunabhängigen Darstellung nur die Flächen- und Volumenelemente in derselben Weise zu drehen, um wieder auf denselben skalaren Ausdruck zu kommen. Das Skalarfeld dreht und verschiebt sich also in gleicher Weise wie das Vektorfeld .

Ein „Zerlegungs-Theorem“ Für 3-dimensionale Vektorfelder , die im ganzen Raum mindestens zweimal stetig differenzierbar sind und im Unendlichen hinreichend rasch gegen null gehen, gilt, dass sie in einen wirbelfreien Teil und einen quellenfreien Teil zerfallen, . Für den wirbelfreien Teil gilt, dass er durch seine Quellendichte wie folgt dargestellt werden kann:

, mit

.

Für den quellenfreien Teil, , gilt analoges, wenn man das skalare Potential durch ein sog. Vektorpotential ersetzt und zugleich die Ausdrücke bzw. (= Quellendichte von ) durch bzw. (= Wirbeldichte von ) substituiert.

Dieses Verfahren ist Bestandteil des Helmholtz-Theorems.

Rechenregeln Produktregel Sei eine Konstante, eine offene Teilmenge, ein skalares Feld und zwei Vektorfelder. Dann gelten folgende Regeln:

Ist , so gibt es auch eine Produktregel für das Kreuzprodukt , diese lautet

wobei mit rot die Rotation eines Vektorfeldes gemeint ist. Wegen für alle zweimal differenzierbaren folgt daraus

für beliebige zweimal differenzierbare .

Mehr Formeln finden sich in der Formelsammlung Tensoranalysis.

Nützliche Formeln Mit zweimal differenzierbarem , Ortsvektor , dessen Betrag und einer Funktion gilt:

Darin ist der Laplace-Operator.

Eigenschaften Sei eine Konstante, eine offene Teilmenge, ein skalares Feld und zwei differenzierbare Vektorfelder. Dann gelten folgende Regeln:

Die Divergenz ist linear, das heißt, es gilt

und

Die Divergenz des Vektorfeldes entspricht in beliebigen Koordinaten der Spur der kovarianten Ableitung von , das heißt, es gilt . Diese Darstellung ist koordinateninvariant, da die Spur einer linearen Abbildung invariant gegenüber einem Basiswechsel ist. Siehe auch #Beliebige krummlinige Koordinaten weiter unten.

Divergenz in verschiedenen Koordinatensystemen Die Divergenz in Cartesischen Koordinaten ist in der #Definition angegeben.

Zylinderkoordinaten In Zylinderkoordinaten gilt für die Divergenz eines Vektorfeldes :

Kugelkoordinaten

In Kugelkoordinaten gilt für die Divergenz eines Vektorfeldes :

Letztere Formel kann ohne Differentiation von Basisvektoren hergeleitet werden: Man führt eine Testfunktion ein und schreibt ein Volumenintegral einmal in kartesischen und einmal in Kugelkoordinaten. Mit bekannten Ausdrücken für Gradient und Volumenelement ergibt das nach Ausmultiplizieren der Basisvektoren

Die Ableitungen von werden partiell integriert, wobei Randterme verschwinden. Auf der rechten Seite muss das Volumenelement mitdifferenziert und danach in zwei Termen wiederhergestellt werden (Erweitern). Das ergibt

Aus der Gleichheit der Integrale für alle Testfunktionen folgt, dass die Ausdrücke für die Divergenz gleich sind.

Beliebige krummlinige Koordinaten

Krummlinige Koordinaten uk induzieren zwei Vektorfelder: Kovariante Basisvektoren , wo der Ortsvektor ist und der Index ,k die Ableitung nach uk anzeigt. Diese Basisvektoren sind tangential zu den Koordinatenlinien. Kontravariante Basisvektoren , die senkrecht auf Koordinatenflächen und reziprok zu den kovarianten Basisvektoren sind.

Der Nabla-Operator hat hier die Form (hier wie im Folgenden erfolgt eine stillschweigende Summation über doppelt vorkommende Indizes, hier i). Die Ableitung kontravarianter Vektorfelder lässt sich elegant mit kovarianten Ableitungen seiner Komponenten darstellen:

Diese Summe kann wiederum mit der Determinante g der Metrikmatrix g dargestellt werden, die die Skalarprodukte der kovarianten Basisvektoren, , enthält:

Denn die kovarianten Ableitungen können mit den Christoffelsymbolen ausgedrückt werden:

Außerdem folgt mit der Definition , dass , und deswegen

Die Inverse von g enthält die Skalarprodukte der kontravarianten Basisvektoren, , denn mit dem Kronecker-Delta δ, und Jacobis Formel liefert weiter

Zusammengenommen entsteht daraus obige Formel für die Divergenz in krummlinigen Koordinaten:

Beliebige Orthogonalkoordinaten

Dieser Abschnitt baut auf dem vorhergehenden auf, denn krummlinige orthogonale Koordinaten sind ein (wichtiger) Spezialfall krummliniger; eine stillschweigende Summation über doppelt vorkommende Indizes findet in diesem Abschnitt jedoch nicht statt. In krummlinigen orthogonalen Koordinaten sind die ko- und kontravarianten Basisvektoren paarweise senkrecht zueinander, können jedoch von eins verschiedenen Betrag besitzen. Die Beträge der kovarianten Basisvektoren werden metrische Faktoren genannt: (Bezeichnungen siehe #Beliebige krummlinige Koordinaten)

mit {| | || metrischer Faktor |- | || normalisierter Basisvektor der Länge eins

Vektoren werden in der Physik mit der normalisierten Basis dargestellt, sodass die Ko- und Kontravarianz aufgehoben ist:

Die Ableitungen der normalisierten Basis und die Christoffelsymbole können vollständig mit den metrischen Faktoren und ihren Ableitungen dargestellt werden. Die Metrikmatrix hat Diagonalgestalt und die Wurzel ihrer Determinante ist das Produkt der metrischen Faktoren. Von den Christoffelsymbolen sind nur die mit mindestens doppeltem Index von null verschieden:

sodass

wird, was über k summiert und zusammengefasst

ergibt. Das ist äquivalent zur kanonischen Form

mit .

Die Wurzel der Determinante g der Metrikmatrix mit den Komponenten ist gleich h und , weswegen die kanonische Form der Darstellung im Abschnitt #Beliebige krummlinige Koordinaten entspricht.

Gaußscher Integralsatz

Aussage Eine wichtige Rolle spielt die Divergenz in der Aussage des Gaußschen Integralsatzes. Er besagt, dass der Durchfluss durch eine geschlossene Oberfläche gleich dem Integral über die Divergenz des Vektorfeldes im Inneren dieses Volumens ist, und erlaubt damit die Umwandlung eines Volumenintegrals in ein Oberflächenintegral: