Ein Zinsstrukturmodell ist ein finanzmathematisches Modell, das die gesamte Zinsstruktur, also die Zinsen für verschiedene Laufzeiten, gemeinsam beschreibt. Mit Hilfe von Zinsstrukturmodellen sollen die empirisch beobachteten Zusammenhänge zwischen Zinssätzen unterschiedlicher Laufzeiten durch möglichst wenige Zinsstrukturfaktoren erklärt werden. Diese Modelle dienen der Bewertung von Finanzgeschäften, deren Wert von Zinssätzen abhängt, wie Anleihen oder Zinsderivaten. Da die verschiedenen Zinssätze voneinander abhängen bzw. einander beeinflussen, ist die Modellierung einzelner Zinssätze unabhängig voneinander nicht sinnvoll. Aus diesem Grund wird versucht, die gesamte Zinsstruktur in einem Modell darzustellen.
Grundlagen Bei Zinsstrukturmodellen geht es weniger um die Vorhersage von Zinssätzen, als vielmehr um deren wahrscheinliche künftige Verteilung. Dies ist analog zur Vorgehensweise des Black-Scholes-Modells, das jedoch aus einer Reihe von Gründen nicht direkt zur Bewertung von Zinsderivaten herangezogen werden kann:
Statt eines Basiswerts (der Aktie) besteht die Zinsstruktur aus einer Vielzahl von Zinssätzen, die alle simultan zu modellieren sind. Im Gegensatz zu Aktien werden Zinssätze nicht direkt gehandelt, sondern nur Derivate auf Zinssätze. Aktien besitzen eine (theoretisch) unbeschränkte Laufzeit, wohingegen Anleihen regelmäßig eine beschränkte Laufzeit besitzen. Fisher Black formulierte aus dem Black-Scholes-Modellrahmen heraus die Black76-Formel, womit sich einfache Zinsoptionen bewerten lassen. Seitdem wurden verschiedene Konzepte entwickelt, um die Zinsstruktur in allgemeiner Form zu beschreiben.
Die Zinsstrukturkurve lässt sich anhand von Nullkuponanleihen mit verschiedenen Laufzeiten beschreiben. Anstatt die Nullkuponanleihen direkt zu modellieren, werden in Bezug stehende Zinsraten betrachtet, wie Kassazins, Terminzins oder Momentanzins . Sei ein zukünftiger Zeitpunkt, dann lassen sich die Nullkuponanleihe und der Terminzins für bei stetiger Verzinsung wie folgt zueinander ins Verhältnis setzen: mit der kurzfristige Terminzins ().Bei linearer Verzinsung ändert sich die Gleichung zuIm Sonderfall reduziert sich die Gleichung zur Gleichung zwischen Nullkuponanleihe und Kassazins Der Momentanzins entspricht damit .
Für Zinsstrukturmodelle eignet sich neben dem risikoneutralen Maß auch das terminpreisneutrale Maß.
Hauptkonzepte Aus den genannten Gründen ist die Modellierung der Zinsstruktur erheblich schwieriger als die Bewertung von Aktienderivaten und die entsprechenden Modelle wesentlich komplexer. Üblicherweise wird je nach zugrundeliegender erklärender Variable („Faktor“) zwischen drei verschiedenen Konzepten unterschieden:
Kassazinsratenansatz: Momentanzinsmodelle zur Modellierung des Momentanzinses Terminzinsratenansatz: HJM-Modell(rahmen) zur Modellierung der kurzfristigen Terminzinsen , Marktmodelle zur Modellierung von Marktzinssätzen (z. B. LIBOR- oder Swap-Sätze)
Momentanzinsmodelle Modelle, bei denen der Momentanzins die erklärende Variable und damit die einzige Unsicherheitsquelle ist, heißen entsprechend Momentanzinsmodelle. Der Momentanzins ist theoretischer Natur und kann nicht am Markt beobachtet werden. Er bezeichnet den Zinssatz einer sicheren Anlage für den gegenwärtigen, infinitesimal (unendlich) kurzen Zeitraum. Meist werden Ein- oder Drei-Monats-Zinssätze (vgl. EURIBOR) zur Berechnung des Momentanzinses herangezogen. Eines der ersten Modelle stammt von Oldřich Vašíček (1977), der einen gaußschen Ornstein-Uhlenbeck-Prozess für die Entwicklung des Momentanzinses verwendet. Hierbei ist der Momentanzins normalverteilt, d. h. Zinssätze können mit positiver Wahrscheinlichkeit negative Werte annehmen. Weitere bedeutende Ansätze sind z. B. die Modelle von Cox, Ingersoll und Ross (1985) und Hull und White (1990).
Ein Vorteil der Momentanzinsmodelle ist die meist einfache Implementierung und die große Freiheit bei der Wahl der Parameter. In der Regel liefern sie geschlossene Bewertungsgleichungen für Anleihen und einfache Zinsderivate. Bemängelt wird häufig der Vorgang der Kalibrierung, also die Anpassung der Modellparameter an die realen Marktdaten. Diese Anpassung ist dabei umso komplizierter, je realistischer das Modell ist. Weiterhin haben empirische Studien den Momentanzinsmodellen mit (nur) einem Faktor eine schlechte Erklärungskraft nachgewiesen. Die Verwendung des Momentanzinses als einziger erklärenden Variable bewirkt, dass sämtliche Zinssätze der Zinsstruktur perfekt korreliert sind und reale Zinsstrukturen nicht adäquat nachgebildet werden können. Die Hinzunahme weiterer Faktoren wie der Inflationsrate oder dem langfristigen Zins verbessert die Anpassungsfähigkeit, macht jedoch die Handhabung der Modelle komplizierter.
Terminzinsmodelle Um die Mängel der Momentanzinsmodelle zu überwinden, entwarfen Heath, Jarrow und Morton (1992) einen allgemeinen Modellrahmen, der anstatt eines einzigen Punktes der Zinsstruktur die Entwicklung der Gesamtheit der kurzfristigen Terminzinsen (auch „momentane Terminzinsen“, oft in unpräziser Verkürzung forward rates genannt) in den Mittelpunkt stellt. Der kurzfristige Terminzins ist dabei der Momentanzins für den als Termin angegebenen zukünftigen Zeitpunkt. Damit wird die Zinsstrukturkurve als Ganzes modelliert. In ihrer Arbeit weisen die Autoren nach, dass neben der anfänglichen Zinsstruktur als weitere Variable lediglich die Volatilitätsfunktion der kurzfristigen Terminzinsen benötigt wird (Driftrestriktion). Dies ist analog zum Black-Scholes-Modell, wo der Wert einer Aktienoption ebenfalls nur vom gegenwärtigen Wert des Basiswerts und dessen Volatilität abhängt. Dies ermöglicht die präferenzfreie Bewertung von Zinsderivaten. Die Wahl der Volatilitätsfunktion ist bedeutend; sie bestimmt im Wesentlichen die jeweiligen Modelleigenschaften.
Eine bedeutende Unterklasse stellen die Gauß-Zinsmodelle dar. Deren Volatilitätsfunktion ist deterministisch, was zu normalverteilten kurzfristigen Terminzinsen (und damit lognormalverteilten Anleihepreisen) führt. Für den Spezialfall konstanter oder exponentiell fallender Volatilitäten existieren geschlossene Bewertungsgleichungen.
Terminzinsmodelle erlauben die Verwendung (theoretisch) beliebig vieler Eingabeparameter, um eine realistischere Darstellung der Zinsstruktur zu ermöglichen. Gleichzeitig ist jedoch auch der kurzfristige Terminzins ein theoretisches Konstrukt, das nicht direkt am Markt beobachtet werden kann. Diesen Nachteil überwinden die Marktmodelle.
Marktmodelle Marktmodelle stellen eine Weiterentwicklung der Terminzinsmodelle dar. Sie verwenden anstelle der fiktiven kurzfristigen Terminzinsen tatsächlich am Markt beobachtbare Zinssätze. Diese Methodik wurde erstmals in den Arbeiten von Brace, Gatarek und Musiela (1997) sowie Miltersen, Sandmann und Sondermann (1997) für LIBOR-Sätze (LIBOR-Markt-Modell) und von Jamshidian (1997) für Swap-Sätze (Swap-Markt-Modell) angewandt. Diese Modelle führen zu Bewertungsgleichungen ähnlich der Black-Scholes-Formel und haben sich daher heute in der Praxis durchgesetzt.
Weblinks
Eintrag im Gabler Banklexikon Christian Goll: „Impacts of Yield Curve Changes on Fixed-Income Security Prices“
Literatur
Originalarbeiten Alan Brace, Dariusz Gatarek, Marek Musiela: The Market Model of Interest Rate Dynamics. In: Mathematical Finance. Bd. 7, Nr. 2, 1997, , S. 127–147, doi:10.1111/1467-9965.00028. John C. Cox, Jonathan E. Ingersoll, Jr., Stephen A. Ross: A Theory of the Term Structure of Interest Rates. In: Econometrica. Bd. 53, Nr. 2, 1985, , S. 385–407. David Heath, Robert Jarrow, Andrew Morton: Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates: A New Methodology for Contingent Claims Valuation. In: Econometrica. Bd. 60, Nr. 1, 1992, S. 77–105. John Hull, Alan White: Pricing Interest-Rate-Derivative Securities. In: The Review of Financial Studies. Bd. 3, Nr. 4, 1990, , S. 573–592. Farshid Jamshidian: LIBOR and Swap Market Models and Measures. In: Finance and Stochastics. Bd. 1, Nr. 4, 1997, , S. 293–330. Kristian R. Miltersen, Klaus Sandmann, Dieter Sondermann: Closed Form Solutions for Term Structure Derivatives with Log-Normal Interest Rates. In: Journal of Finance. Bd. 52, Nr. 1, 1997, , S. 409–430. Oldrich Vasicek: An Equilibrium Characterization of the Term Structure. In: Journal of Financial Economics. Bd. 5, Nr. 2, 1977, , S. 177–188, doi:10.1016/0304-405X(77)90016-2.
Bücher Nicole Branger, Christian Schlag: Zinsderivate.- Modelle und Bewertung. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-21228-0. Damiano Brigo, Fabio Mercurio: Interest Rate Models – Theory and Practice. With Smile, Inflation and Credit. 2. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-22149-2. Riccardo Rebonato: Modern Pricing of Interest-Rate Derivatives. The LIBOR Market Model and Beyond. Princeton University Press, Princeton NJ u. a. 2002, ISBN 0-691-08973-6.
Einzelnachweise
Kategorie:Finanzmathematik Kategorie:Zinsgeschäft